Занятие 4 (суббота)

Рассмотри пространство:

$ V = R^n $
$ {e_1,…., e_n}$ - базис в $\Large V $
$ X \in V $
$ X = x_1$

Если базис фиксированный, то мы имеем координатные функции:
$\Large \overline{x_1} ….. \overline{x_n} $– координатиные функции в V (ставим черту над иксами – всеми функциями здесь и ниже – чтобы отличать саму координату и функцию - $\Large \overline{x_1}$ и координату $\Large x_1$)

То есть такая функция (координатная) просто извлекает из вектора одну координату.

Например:
$ \overline{x_1}: V \rightarrow R^1 ;$
$ \overline{x_1}(x) = x1$
(применяем функцию ко всему вектору и получаем воординату соответствующего номера - в данном случае номер 1)

$\Large \overline{х_i}$ (координатные функции) являются линейными функционалами.
Линейные функционалы также называют 1-формами.

Далее выполним проверку на линейность. Разложим два элемента пространства $\Large V$ по базису (по базисным элементам):
$\Large x = x_1 e_1 + .... + x_n e_n$
$\Large y = y_1 e_1 + .... + y_n e_n$

И определим чем равна сумма их, где каждый элемент предварительно умножен на некоторое число:
$\Large \alpha x + \beta y = (\alpha x_1) e_1 + .... + (\alpha x_n) e_n + (\beta y_1) e_1 + .... + (\beta y_n) e_n = $

получим разложение суммы по базису:
$\Large = (\alpha x_1 + \beta y_1) e_1 + ..... + (\alpha x_n + \beta y_n) e_n $

Теперь подействуем некоторой координатной функцией $\Large \overline{x_i}$ на подобную сумму:
$\Large \overline{x_i} (\alpha x + \beta y ) = \alpha \overline{x_i} + \beta \overline{x_i} = \alpha \overline{x_i} (x) + \beta \overline{x_i} (y)$

Таким образом, \overline{x_i} , где i = 1....n - примеры 1-форм.

Если задан базис, то появляется n-линейных функционалов – их линейность мы показали. То есть возникает 1-форма.
Пространства 1-форм мы обозначали (2);
$\Large \Lambda ' (V) = V^*$ - линейное пространство 1-форм на $\Large V$.

Если $\Large V = R^n$ то мы покажем, что $\Large \overline{x_1}… \overline{x_n}$ – базисные . Они называются координатными по построению. А вот «базисность» - это свойство которое нужно доказывать.

Покажем что при $\Large V = R^n$ 1-формы $\Large \overline{x_1}… \overline{x_n}$ образуют базис в $\Large V^*$ (смотри способ задания пространства (2)

Свойства базиса

Свойства базиса в сопряжённом пространстве (V со звездой) те же -
1) Линейная независимость (3):
$\Large \alpha_1 \overline{x_1} + .... + \alpha_n \overline{x_n} = \theta \in V^*$

Причём тэта – это нейтральный элемент в пространстве V (1 для операции умножения, например) – то есть эта такая функция, которая даёт ноль для любого значения $\Large x \in V$ Уточнить [ !!!]

То есть мы делаем линейную комбинацию приравниваем её к нулю и должны показать, что тогда все координаты равны нулю (так как только в этом случае вся комбинация равна нулю - в чём и состоит свойство линейной независимости фунций $\Large \overline{x_1} ....\overline{x_n}$ )

Прошлый раз мы обсуждали как сравнивать функции - просто проверяем, что сравниваемые функции на любом элементе принимают одинаковое значение. Далее (4):
$\Large ( \alpha_1 \overline{x_1} + .... + \alpha_n \overline{x_n}) (e_1) = \theta (e_1) = 0 $
Далее получаем:
$\Large \alpha_1 \overline{x_1}(e_1) + .... + \alpha_n \overline{x_n}(e_1) = 0 $

Напомним как мы определяли $\Large \overline{x_1}$ (5):
$\Large \overline{x_1} (x_1) = x_1$

При этом разложение по базису для некоторого элемента $\Large x$ и базисного (в простренстве V) элемента $\Large e_1$ выглядит следующим образом:
$\Large x = x_1 e_1 +........+ x_n e_n$
$\Large e1 = 1 e_1 + 0 e_2 +........+ 0 e_n $

Следовательно, при действии координатной функцией $\Large x_1$ базисный элемент $\Large e_1$ получаем единицу:
\overline{x_1} (e_1) = 1, остальные же слагаемые из суммы (4) равны нулю, тогда и $\Large \alpha_1 = 0$ , так как получаем, что:
$\Large \alpha_1 1 = 0 => \alpha_1 = 0$

Далее рассмотрим произвольную координату $\Large e_i$ и запишем условие для неё (6):
( \alpha_1 \overline{x_1} + .... + \alpha_n \overline{x_n}) (e_i) = \theta (e_i)
$\Large \alpha_i 1 = 0 => \alpha_i = 0$

ВОПРОС №1: мы действовали линейной комбинацией базисных функций пространства $\Large V^*$ на базисный элемент пространства $\Large V$ и показывали что результат будет нулевым только в случае если соответствющий $\Large \alpha$ коэффициент равен нулю -это мы делали для демонстрации линейной незаввисимости комбинации базисных функций?

Ну и второе свойство базиса:
2) Любой линейный функционал можно разложить по базисным функциям (7):

$\Large \forall f \in V^*$
$\Large \exists \sigma_1....... \sigma_n$
такие, что можно выполнить разложение:
$\Large f = \sigma_1 \overline{x_1} ....... \sigma_n \overline{x_n}$

Но при этом не следует забывать, что в самом пространстве $\Large V$ базис фиксирован.

Выберем произвольный функционал $\Large f \in V*$ - и попытаемся найти разложение вроде (7) . Вычислим $\Large f$ на веторах $\Large e_1….e_n$ получим (8):

$\Large f(e_1), f(e_2)….f(e_n)$
Покажем, что $\Large \sigma_i = f(e_i)$, то есть имеется равенство:
f(x) = f(e_1) \overline{x_1} + .... + f(e_n) \overline{x_n}
Давайте вычислим:
$\Large f(x) = f(x_1 e_1+.....+x_n e_n) = x_1 f(e_1) + ...... + x_n f(e_n) = $
Так как $\Large x_i = \overline{x_i}(x), i = 1...n$, то перепишем в таком виде (осталось только увидеть, что (9)):

$\Large = (f(e_1) \overline{x_1})(x) +.....+ f(e_n) \overline{x_n})(x)) = x_1 f(e_1) + ...... + x_n f(e_n) =$
здесь x \in V продолжим преобразования:
$\Large = (f(e_1) \overline{x_1}+........+ f(e_n) \overline{x_n})(x)$

В (9) мы расставили скобки таким образом чтобы показать умножение числа на функционал
В таком виде мы можем применять правило – вектор применяется к иксу,
То есть мы доказали что это базис и можно записать что размерность пространсва равна числу векторов в базисе (10):
$\Large dim \Lambda^1 (V) = n$

Рассмотрим следующее утверждение - о базисных 2-формах в пространстве билинейных коссосиметрических функционалов на $\Large V$ (11):
$\Large w_{ij} = \overline{x_i} \wedge \overline{x_j}$
- базисные 2-формы в пространстве \Lambda ^2 (V) , где $\Large i > j$

Вопрос №2: почему требуется чтобы было i > j ?

Кососимметричность обнуляет все пары с одинаковыми коэффициентами – то есть диагональ - если пары перечислить в виде таблицы (12) оказывается нулевой (даёт нулевые значения):
Таблица - матрица (12):
$\Large \overline{x_1} \wedge \overline{x_1} ..... .... . ...... ....... \overline{x_1} \wedge \overline{x_n} | $
$\Large \overline{x_2} \wedge \overline{x_1} ..... .... . ...... ....... \overline{x_2} \wedge \overline{x_n} | $
$\Large ..... ..........................$
$\Large ......................................$
$\Large \overline{x_n} \wedge \overline{x_1} ..... .... . ...... ....... \overline{x_n} \wedge \overline{x_n} $

Незавсимость среди всех пар даже меньше чем $\Large n^2 – n$ - то есть минус диагональ, так как любое обмен в уже существующей паре порождает значение противоположного знака – которое естественно зависит от предыдущего с коэффициентом $\Large k= -1$.

Зализняк – теоретический анализ. Читаем его публикации

ПРИМЕР возникновения 1-формы

Пусть базовое пространство $\Large V = R^3$ с фиксированной Евклидовой структурой – то есть у нас будет скалярное произведение (13):
Вся школьная геометрия фактически базируется на скалярном произведении, оно задаёт эту геомертию – мы изучаем длины сторон треугольника, углы, двигаем и накладывает один треугольник на другой.
$\Large ||x|| = \sqrt{}$ – зададим норму так
И зададим косинус так (14):

Вычислять длины и углы возможно только если есть скалярное произведение.
Пример – пусть в пространстве $\Large R^3$ задано однородное силовое поле F – задано отображение действующее из $\Large R^3$ в $\Large R^3$ : $\Large F: R^3 -> R^3$
Будет одинаковым в каждой точке: $\Large F(x) = F_0$ для любого $\Large х$ из $\Large R^3$.
А - работа поля F при перемещении некоторй единичной массы на вектор кси (15):
См. рис. 2

vedro-compota's picture

для всех кто будет комментровать данную заметку - справочник по LaTeX здесь: http://fkn.ktu10.com/?q=node/2906

_____________
матфак вгу и остальная классика =)