Преобразование - определение

В определении группы все четыре аксиомы говорят о свойствах элементов некоторого множества, при выполнении над ними некоторой бинарной операции.
Именно относительно этой самой операции ("композиции элементов") и определяются - и правый обратный элемент для конкретного элемента множества, и правая единица для всего множества.

То есть -

  1. берут два элемента из одного (в случае бинарной операции именно два)
  2. как то их преобразовывают (выполняют операцию)
  3. и получают некоторый результат (элемент какого-то множества, может того, из которого взяли два исходных элемента, а может и другого)

Вместе "как-то преобразовывают" (пункт 2) можно сказать "строят их композицию" - если рассматривать "чистый математический смысл", то это одно и тоже. В данный момент мы рассматриваем композиции из двух элементов или (что,опять же, то же самое) операции "дейсвующие на" (= "принимающие") два аргумента из некоторого множества.

Преобразование - определение

Будем называть преобразованием такую "операцию" ( = "процесс" = "соответствие"), которая переводит элементы из некоторого множества $\Large X$ в элементы того же самого множества $\Large X$

.

Альтернативное определение:
Преобразованием множества $X$ называется биективное отображение из $X$ на $X$

Далее рассмотрим примеры.

Примеры

Пример 1:

Пусть у нас есть множество $X$ состоящее из конечного числа элементов, скажем из трёх элементов: $ x_1, x_2, x_ 3 $.
Тогда мы можем задать преобразование с помощью следующего соответствия:
$x_1 \rightarrow x_2$
$x_2 \rightarrow x_3$
$x_3 \rightarrow x_1$
То есть мы указали правило (= "преобразование"), по которому каждый элемент из множества $X$ переходит ("преобразуется") в некоторый другой элемент, опять же, из множества $X$

Пример 2:

Пусть теперь множество $X$ состоит из всех целых (положительных и отрицательных чисел), тогда соответствие:
$\Large x \rightarrow x + 1$, где $\Large x \in X$
будет преобразованием, так как если к целому числу прибавить целое, то результат будет целым - то есть результат операции также будет принадлежать исходному множеству $X$

Пример 3:

Пусть множество $X$ теперь состоит из всех вещественных чисел, а преобразование зададим следующим сопоставлением:

$\Large x \rightarrow {ax + b \over{cx + d}}$, где $\Large x \in X$, $a, b, c, d$ - постоянные числа.
Такое преобразование называется дробной линейной подстановкой.

Подвопросы (просьба прокомментировать - ответить):

  1. Преобразование - частный случай отображения?
  2. Композиция - это всегда бинарная операция или же бывает "композиция 3-х элементов"?

Слово

Преображение

считаю здесь неприменимым вовсе.

Преобразование -- частный случай отображения. Ссылка здесь.

В этом контексте композиция -- ассоциативная бинарная операция.

Бинарные операции позволяют строить произведения любой конечной длины.
В случае ассоциативной операции порядок вычисления не важен, иначе -- важен.
В этом смысле можно сказать, что в случае бинарной операции существует композиция трёх элементов.

Существуют также алгебры, в которых операции умножения бинарными не являются.
Существует, например, понятие "тернарная операция".

Что касается фрагмента

То есть -

  1. берут два элемента из одного (в случае бинарной операции именно два)
  2. как то их преобразовывают (выполняют операцию)
  3. и получают некоторый результат (элемент какого-то множества, может того, из которого взяли два исходных элемента, а может и другого)

Вместе "как-то преобразовывают" (пункт 2) можно сказать "строят их композицию" - если рассматривать "чистый математический смысл", то это одно и тоже. В данный момент мы рассматриваем композиции из двух элементов или (что,опять же, то же самое) операции "дейсвующие на" (= "принимающие") два аргумента из некоторого множества.

то его можно переделать потом. Дело в том, что группу $G$ можно представить как группу преобразований этой же группы $G$.

vedro-compota's picture

Слово Преображение считаю здесь неприменимым вовсе.

верно) это была опечатка) исправлено.

В этом смысле можно сказать, что в случае бинарной операции существует композиция трёх элементов.

эм..... а разве $(A * B * C)$ это не композиция $C$ с результатом композиции $A$ с $B$ ?
Это я в том смысле, что да -

Биективные операции позволяют строить произведения любой конечной длины

но всё же надо понимать, что сама композиция выдаёт "единовременный" результат в нашем случае только для двух элементов.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Биективные операции позволяют...

-- это я бред написал.
Я хотел сказать "бинарные операции". Исправлю.

Смысл в том, что есть операции бинарные, а есть -- небинарные, имеющие более двух операндов.

сама композиция выдаёт "единовременный" результат в нашем случае только для двух элементов

Это конечно так, ведь бинарная операция и определяется для двух "операндов".

а разве $(A?B?C)$ это не композиция C с результатом композиции A с B ?

Вообще, если ассоциативности нет для конкретного множества с композицией,
то под $(A?B?C)$ может пониматься или $((A?B)?C)$, или $(A?(B?C))$.
Это всего лишь соглашение.

Если у нас есть ассоциативность, то
$((A?B)?C)=(A?(B?C)),$
и о порядке вычислений (или расстановки скобок) (но не о порядке следования множителей) можно забыть.
Поэтому говорят о произведении нескольких элементов в случае бинарной операции.
(Для композиции отображений ассоциативность выполняется.)

Кстати, в программировании, когда дело касается обработки математических выражений,
применяются иногда понятия ассоциативность справа и ассоциативность слева.

vedro-compota's picture

Для композиции отображений....

стоп-стоп, у нас же тут как бы к композиция "элементов" рассматривается
- да, конечно, может быть и композиция отображений ( = композиция функций - тогда функции сами расматриваются как элементы, например в сопряжённом пространстве),
но пока мы вроде это не рассматривали - не рассматривали функции как элементы множества.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Это я всего лишь для примера про отображения сказал.

vedro-compota's picture

ок. понял.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

vedro-compota's picture

В определение выше добавлены три примера. Просьба проверить их и, соответственно, определение дробно-линейной подстановки

По примеру №3 есть такие вопросы:

  1. числа с и d - почему о них ничего не сказано - какие они?
  2. как доказать то, что подстановка сама обязательно принадлежит множеству вещественных чисел....это как-то не очень очевидно.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Опечатки

из конечкного числа

из трёх эелментов

vedro-compota's picture

из конечного числа элементов, скажем из трёх элементов: $ x_1, x_2, x_ 3 $

Опечатки

спасибо. исправил

_____________
матфак вгу и остальная классика =)