Дробно-линейная подстановка
Primary tabs
Forums:
Дробная линейная подставновка - это преобразование вида:
$\Large x \rightarrow {ax + b \over{cx + d}}$, где $\Large x \in X$
$a, b, c, d$ - постоянные числа.
- Log in to post comments
- 8811 reads
студентам & программистам
math2
Wed, 01/21/2015 - 22:25
Permalink
$a,b$ - постоянные числа
и $\Large c,d$ -- тоже постоянные числа.
Если мы говорим об отображении из множества вещественных чисел во множество вещественных чисел (то есть $\Large x\in\mathbb{R}$), то ясно,
что такое отображение не определено при
$\Large x=-\frac{d}{c}$,
когда знаменатель обращается в ноль.
Далее, пусть $\Large a,c\neq 0$, тогда
$\Large\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}\frac{сx+\frac{cb}{a}}{cx+d}=$
$\Large =\frac{a}{c}\frac{сx+d-d+\frac{cb}{a}}{cx+d}$
$\Large =\frac{a}{c}\Big(\frac{сx+d}{cx+d}+\frac{\frac{cb}{a}-d}{cx+d}\Big)=$
$\Large =\frac{a}{c}+\frac{a}{c}(\frac{cb}{a}-d)\frac{1}{cx+d}$.
Из последнего выражения видно, что если
$\Large \frac{c}{a}\neq\frac{d}{b}$ (то есть $\Large \frac{ax+b}{cx+d}\neq const$),
то график функции представляет собой гиперболу, то есть
это отображение, действующее из $\mathbb{R}$ (без точки $\Large \{-\frac{d}{c}\}$) в
$\Large \mathbb{R}$ (без точки $\Large \{\frac{a}{c}\}$), является биективным.
vedro-compota
Thu, 01/22/2015 - 23:37
Permalink
math2, один техничекский
math2, один техничекский момент - пожалуйста (по возможности) используйте для длинных формул (а в комментариях можно для всех формул модификатор \Large - если из веб-редактора набираете текст - то там это самая правая кнопка- "корень из икс" - выделяете формулу и она поставит знаки бакса с модификатором - но это всё по возможности) - для примера комментарий выше я отредактировал.
Далее:
то есть a,b,c,d - это какие-то случайно выбранные постоянные числа, которые из графика $\Large x = x$ (прямая) делают гиперболу $\Large\frac{ax+b}{cx+d}$, да?
Ещё:
теперь для "биективным" есть определение (ставить ссылки не обязательно, просто хвастаюсь, правда оно ещё не доделано на днях доделаю инъекцию и сюръекцию)
Ещё:
я вот в каком ключе спрашивал насчёт вещественности результата - почему мы вот можем утвеждать что дробь какая-то - точнее дробь $\Large\frac{ax+b}{cx+d}$ не является бесконечной неприодической дробью - типа как число "пи" ?
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Fri, 01/23/2015 - 01:07
Permalink
a,b,c,d - это какие-то
удовлетворяющие некоторым условиям.
Эти условия найти легко.
Прежде всего, $\Large c^2+d^2\neq0$.
Если $\Large a$ и $\Large c$ одновременно равны нулю, то каждый $\Large x$ будет отображаться в константу $\Large \frac{b}{d}$. Этот случай не очень интересен.
Если $\Large a=0$ и $\Large c\neq 0$, то будет
$\Large x\to \frac{b}{cx+d}$.
И если при этом $\Large b\neq0$, то график функции
$\Large f(x)=\frac{b}{cx+d}$ будет гиперболой.
Если и числитель, и знаменатель дроби $\Large \frac{ax+b}{cx+d}$ линейно-зависимы,
то опять же каждый $\Large x$ будет отображаться в некоторую константу.
Это тоже неинтересный случай.
Мы не можем этого утверждать и не утверждаем. Переменная $\Large x$ принимает вещественные значения, то есть как рациональные, так и иррациональные.
Числа $\Large a,b,c,d$ тоже могут быть как рациональными, так и иррациональными.
Вот если бы мы оперировали лишь в поле рациональных чисел (то есть если бы $\Large a,b,c,d,x$ все были бы рациональными), тогда -- да:
дробь $\Large \frac{ax+b}{cx+d}$ не могла бы быть иррациональным числом.
vedro-compota
Mon, 01/26/2015 - 22:32
Permalink
Мы не можем этого утверждать
ок. спасибо. что-то я тупанул - вещественные же содержат иррациональные)
_____________
матфак вгу и остальная классика =)