Счётность множества рациональных чисел - доказательство (взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом)

Доказательство (изящное и довольно понятное) приведённое в книге сводится к следующим пунтам:

  1. каждое рациональное число можно выразить в виде несократимой дроби
    p/q, где q > 0
  2. назовём высотой дроби число
    |p| + q
  3. число (количество) дробей с данной высотой конечно (напр. высота 1: - только одна дробь 0/1,
    высота 2: -1/1 и 1/1,
    высота 3 - здесь уже 4-ре дроби, какие именно- выпишите сами)))
  4. Теперь просто перенумеруем все рациональные числа по возрастанию высоты (в тех отрезках ряда, где высота дроби одинакова числа можно расположить в произвольном порядке) - каждое из них получит некоторый номер, а значит соответствие установлено.

Неточность:

напр. высота ноль - только одна дробь $\frac{0}{1}$,

Пустое множество дробей высоты ноль,
и лишь одна дробь высоты один: $\frac{0}{1}$.

vedro-compota's picture

лишь одна дробь высоты один: $\frac{0}{1}$

это ок. поправил) спасибо)

пустое множество дробей высоты ноль,

а вот это почему? по-моему про высоту пустого множества сложно что-то конкретное сказать..разве нет?

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Можно сказать, что определение высоты таково, что "высоты ноль" быть не может, то есть "высота ноль" не определена в определении высоты.
Тогда само выражение "дробь высоты ноль" не имеет определённого смысла.

Просто в неисправленной версии было выражение "высота ноль",
и я использовал его как допустимое.

vedro-compota's picture

ок) ясно)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)