Композиция (умножение) преобразований- определение

Для того, чтобы ввести понятие группы преобразований, необходимо ввести понятие композиции (или умножения) двух преобразований.

Композиция преобразований - определение

Пусть
$$
A:M\to M,\ \ B:M\to M.
$$
Под преобразованием $ AB$ (их композицией) мы будем подразумевать преобразование
$$
(m)AB=\left( (m)A \right)B,\ \ \forall m\in M.
$$

Если преобразование $ A$ переводит элемент $ m$ множества $ M$ в $ m'$ , а преобразование $ B$ переводит $ m'$ в $ m''$, то $AB$ переводит $ m$ в $ m''$.

В определении выше мы не использовали никакого знака для композиции (по аналогии с тем, как опускают на письме знак умножения), но можно и обозначить композицию, например, звездочкой $*$:
Если $A: m \longmapsto m'$ и $B: m' \longmapsto m''$, то $A*B: m \longmapsto m''$.

То есть, из определения выше получаем:
$ (m)AB = m''$, что эквивалетно двум действиям:
$ (m)A = m'$ и затем уже $ (m')B = m''$

Получается, что в случае композиции преобразований к элементу (аргументу композиции преобразований) сначала применяется то преобразование, которое стоит слева (ближе всего к аргументу), а затем уже то (/те), что находятся правее.

Здесь порядок следования преобразований в записи композиции (слева направо) определяет порядок их применения к аргументу.

Не стоит путать с ситуацией
$ A(B(m)),$
так как в этой записи к аргументу сначала будет применено преобразование $ B$.

Заставляя элемент $ m$ пробегать все множество $ M$, мы тем самым вполне
определим преобразование $ AB$ - то есть зададим соответствие между каждым элементом из $ M$ и результатом применения к нему преобразования, а потому можно говорить о том, что преобразование определено.

Далее рассмотрим пару примеров.

Примеры композиции преобразований


Пример 1

Пусть у нас есть два преобразования,заданных следующим образом:
Преобразование $ A:$
$ x_1 \rightarrow x_2$
$x_2 \rightarrow x_3$
$ x_3 \rightarrow x_1$
Преобразование $\ B:$
$\ x_1 \rightarrow x_1$
$ x_2 \rightarrow x_3$
$ x_3 \rightarrow x_2$
Тогда преобразование $ AB$ устанавливается таким соотвествием (по определению выше):
$ x_1 \rightarrow x_3$
$ x_2 \rightarrow x_2$
$ x_3 \rightarrow x_1$

Важно заметить, что результат умножения (= применения композиции преобразований к элементу множества) зависит от порядка следования преобразований в композии, например, композиция $ BA$ отличается от $ AB$ и задаётся следующим соотвествием:
$ x_1 \rightarrow x_2$
$ x_2 \rightarrow x_1$
$ x_3 \rightarrow x_3$
В этом случае (когда $ BA \neq AB$ ) говорят, что группа не подчиняется коммутативному закону.

Пример 2

Пусть преобразование A переводит переменную $ x$ в $ x + a$, а преобразование $ B$ переводит $ x$ в $ x + b$. Тогда $ AB$ переводит $ x$ в $ (x + a) + b = x + (a + b)$.
Здесь $ AB = BA$, а потому группа называется коммутативной или абелевой.

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

$\Large AB(m) = m''$, что эквивалетно двум действиям:
$\Large A(m) = m'$ и затем уже $\Large B(m') = m''$

Кстати, иногда в таких случаях (композиции некоммутативных элементов) применяются "правые отображения". То есть так и пишут: аргумент слева, а оператор или отображение -- справа:
$\Large (m)\Big(A\circ B\Big)=\Big((m)A\Big)B.$

Вот простой пример того, когда это удобно.
Пусть $\Large \mathcal{A}$ -- некоммутативная алгебра. Пусть $\Large a\in\mathcal{A}$. И пусть $\Large a$ не перестановочен со всеми элементами из $\Large \mathcal{A}$ .

Мы можем рассматривать умножение на наш элемент $\Large a$ как некоторую "линейную функцию"
$\Large f_a:\mathcal{A}\to\mathcal{A}.$
Однако умножать на элемент $\Large a$ справа и слева -- не одно и то же.
Поэтому $\Large f_a$ можно определить двумя различными способами:

$\Large f_a(b)=ab$ для $\Large \forall b\in\mathcal{A}$

или

$\Large f_a(b)=ba$ для $\Large \forall b\in\mathcal{A}$.

Второй случай как раз описывает "правое отображение".
Пусть $\Large c\in\mathcal{A}$. Применим к нему сначала правое отображение
$\Large f_a$, а затем правое отображение $\Large f_b$. Результатом будет произведение

$\Large cab$.

И здесь запись

$\Large (c)\Big(f_a\circ f_b)=\Big((c)f_a\Big)f_b=(ca)f_b=cab$

использовать проще, чем

$\Large \Big(f_b\circ f_a\Big)(c)=f_b\Big(f_a(c)\Big)=f_b(ca)=cab,$

так как не приходится думать о перестановке букв в последовательности $\Large c\,a\,b$.
Более того, выполняется правило

$\Large (c)\Big(f_a\circ f_b)=(c)f_{ab}.$

vedro-compota's picture

я вот не согласен с примером №2 - если записывать точнее, то $\Large AB$ это
$\Large (x+a)+b$
а не $\Large (x+b)+а$
да ведь?

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Пример 2 немногословен.
Вот в примере 1 речь точно идёт о "правых" отображениях.
В примере 2 это не указано.
Возможно, в этом примере подразумевалось
$\Large AB(x)=(x+b)+а.$
Описываемые преобразования перестановочны.
Сложение коммутативно и ассоциативно (если считать, что речь идёт о числах).
$\Large (x+b)+а=(x+a)+b=x+(a+b).$
Поэтому сгодится любая запись.

vedro-compota's picture

до примера 2 в текте выше есть определение - там рассмотрено именно правое отображение. без всяких примечаний о том что есть "левые". в самом примере 2 тоже никаких оговорок нет - значит по умолчанию отображение должно быть правым. я исправлю текст выше, думаю поспособствует понятности))

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Обозначение
$ \Large A=\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3\\
x_2 & x_3 & x_1
\end{pmatrix}$
также следует принять во внимание.

vedro-compota's picture

ого !!)) вами обнаружен способ печатать матрицы на этом сайте! класс!! добавил пример сюда)) ну и в справочник
значит у нас есть возможность печатать что угодно))

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

vedro-compota's picture

Правильно ли я понимаю, что в тексте выше:

....и записать определение композиции в математических символах:
Если $A: m \longmapsto m'$ и $B: m^1 \longmapsto m'$, то $A*B: m \longmapsto m''$.

надо заменить словосочетание "определение композиции" на "свойство композиции преобразования" ?
Так как иначе мы утверждаем то же самое, что здесь.

если

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Да, нужно исправить.
Я думаю, можно просто вырезать фрагмент

, и записать определение композиции в математических символах:

vedro-compota's picture

ок. так и сделал .теперь получаем:

В определении выше мы не использовали никакого знака для композиции (по аналогии с тем, как опускают на письме знак умножения), но можно и обозначить композицию, например, звездочкой $*$:
Если $A: m \longmapsto m'$ и $B: m' \longmapsto m''$, то $A*B: m \longmapsto m''$.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)