Порядок элемента группы - определение

Кроме порядка группы, мы будем иметь дело с понятием порядка элемента группы.

Порядок элемента $A$ группы $\mathfrak{G}$ - это минимальное положительное число $k$, для которого справедливо равенство $A^k = J$ (где $J$ - единичный элемент группы). То есть - порядок элемента группы - это минимальная положительная степень, в которой данный элемент равен единице.

Теорема. В конечной группе каждый элемент имеет конечный порядок.
Доказательство:
Пусть в некоторой конечной группе $ \mathfrak{G}$ есть элемент $ A \neq J$ , где $ J$ - единичный элемент группы.
Составим последовательность - каждый раз "умножая" элемент $\ A$ сам на себя:
$ A^1, A^2,........,A^k,......$

Тогда (в силу конечности нашей группы $ \mathfrak{G}$) для некоторых $ k$ и $ m$ окажется, что:
$ A^k = A^m$ - для определённости пусть $ k < m$, то есть $ m - k > 0$

Далее, умножим равенство $A^k = A^m$ справа на элемент обратный к $ A^k$ - то есть на $ A^{-k}$:
$ A^k * A^{-k} = A^m * A^{-k} $
получим:
$ J = A^{m -k}$

Далее, пусть $ m - k = b$
Множество таких $b \in \mathbb{N}$, для которых $ A^b = J$ непусто:

$$ \{b\in\mathbb{N}\ |\ A^b=J\}\neq\emptyset. $$

Следовательно, существует первый (минимальный) элемент в этом множестве. Этот элемент (натуральное число) и будет порядком элемента $A$.

Теорема доказана.