Упражнение 1. Доказать, что все элементы $ J, A, A^2, ..., A^{k-1}$, где $ k$ — порядок элемента А, различны - упражнение

Упражнение 1. Доказать, что все элементы $ J, A, A^2, ..., A^{k-1},$ где $ k$ — порядок элемента $A$, различны.

Доказательство:

Предположим, что в последовательности $ J, A, A^2, ..., A^{k-1}$ найдутся два различные числа $m$ и $n$ - оба $ A^n = A^m, \,\, m,n < k$
Пусть для конкретности: $ m > n \Rightarrow m - n > 0 $
Тогда, по аналогии с рассуждениями в доказательстве того, что в конечной группе каждый элемент имеет конечный порядок:
умножим обе части равенства $A^n = A^m$ на элемент $A^{-n}$, обратный элементу $A^n$ ,тогда получим:
$ A^n * A^{-n} = A^m * A^{-n} \Rightarrow J = A^{m-n} $ - где $ J$ - единичный элемент группы.

Мы обнаружили некорое число $ (m-n)$, отличное от числа $ k$, так как $ m-n

Получается, что мы нашли число $ m-n$, меньше чем $ k$, для которого $ A^{m-n} = J$ - а это невозможно по определению - так как $ k$ уже является наименьшим числом, для которого $ J = A^k$
Следовательно, ситуация $ A^n = A^m, \,\, m,n \lt k$ невозможна $\Rightarrow$ все элементы $J, A, A^2, ..., A^{k-1}$ группы различны.

Получаем, что число $(m?n)$ не что иное, как порядок элемента $A$, отличный от числа $k$,
так как $m-n

Это не так. Мы не получаем, что $m-n$ есть порядок для $A$.
Мы получаем лишь то, что существует такое натуральное число $m-n$, что
$$ A^{m-n}=J ,\ \ \ (m-n)

Получается мы нашли число меньше чем $ k $, которое является порядком элемета $A$

Здесь та же неточность. Что указывает на то, что $(m-n)$ является порядком элемента $A$?

vedro-compota's picture

Здесь та же неточность. Что указывает на то, что (m?n) является порядком элемента A?

math2 , вы правы. проправил текст. Мы всего лишь нашли степень, меньшую чем K, которая обращает число в единицу.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

которая обращает число в единицу.

Вообще говоря, элемент $A\in\mathfrak{G}$ может и не быть числом [в обычном смысле].

Но, думаю, суть дела верно изложена.

vedro-compota's picture

может и не быть числом [в обычном смысле]

абсолютно согласен. опять моя неточность.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)