Все биекции множества на себя - группа.

Думаю, нет.
Здесь просто говорится о том, что подстановка $A$ имеет конечный порядок, так как является элементом конечной группы $\mathfrak{S}_n$.
(В любой конечной группе каждый элемент имеет конечный порядок.)

Если $k$ --- порядок подстановки $A$, то
$$
A^k=J,
$$
и
$$
A^k(1)=J(1)=1.
$$
Поэтому
$$
k\in\{h\in\mathbb{N} \ | \ A^h(1)=1\}.
$$
Следовательно,
$$
\{h\in\mathbb{N} \ | \ A^h(1)=1\}\neq\emptyset.
$$

Я понял о чём Вы говорите.

1. доказываем эту теорему, что множество всех биективных отображений из непустого множества $M$ на $M$ является группой относительно композиции отображений;
2. устанавливаем, что для конечного множества $M=\{1,\ 2,\ ...,\ n\}$ существует всего $n!$ различных биективных отображений; получается, что симметрическая группа $\mathfrak{S}_n$ конечна.
3. из конечности группы следует конечность порядка любого элемента этой группы.