Упражнение 2. Доказать, что равенство $A^m = A^n$ может иметь место в том и только в том случае, если разность $m-n$ делится на

Упражнение 2. Доказать, что равенство $A^m = A^n$ имеет место в том и только в том случае, если разность $m-n$ делится на порядок элемента $A$.

Доказательство:

Пусть $k$ --- порядок элемента $A$.

Если $(m-n)$ делится на $k$, то есть $(m-n)=ka,\ a\in\mathbb{Z}$, то
$$
A^{m-n}=A^{ka}=(A^k)^a=J^a=J.
$$
$$
A^{m-n}=J\ \ \Rightarrow\ \ A^m=A^n.
$$

Обратно, пусть $A^{m-n}=J$.

Разделим $(m-n)$ на $k$ с остатком:
$$
(m-n) = ka + t,
$$
где $a \in \mathbb{Z}$, и $0\leq t \lt k$ --- остаток от деления $(m-n)$ на $k$.

Тогда
$$
J=A^{m-n}=A^{ka+t} = (A^k)^a\cdot A^t,
$$
то есть $t=0, \ \ 0\leq t\lt k$. $t$ не может быть положительным, так как $k$ является минимальным положительным числом, для которого выполнено: $A^{k} = J$, и поэтому
$$
t = 0.
$$

vedro-compota's picture

Ты пишешь, что $A^t=0$:

$$
J=A^{m-n}=A^{ka+t} = (A^k)^a\cdot A^t,
$$
то есть $A^t=0$

Но это невозможно, такой элемент "0" не определен. Есть единичный элемент $ J$, и следует показать, что $A^t=J$, но это возможно только в двух случаях - либо $t=k$, либо $t=0$. По условию договорились, что $t$ строго меньше $k$, значит только вариант $t=0$

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

$A^t=J$, но это возможно только в двух случаях - либо $t=k$, либо $t=0$. По условию договорились, что $t$ строго меньше $k$, значит только вариант $t=0$.

$A^t=J$. По условию $t$ неотрицательно и строго меньше $k$. $k$---порядок $A$. Остаётся лишь один вариант --- $t=0$.

$A^t=J$ возможно лишь в случае $t=k\cdot p$, $p\in \mathbb{Z}$.

JaKarta's picture

в 10 строке запись $A^t=0$ мне кажется некорректной.
Изначально определены элементы $J$, $A$, $A^1$ и так далее. Мы не можем по логике вещей отождествить некоторый элемент с числом, а только с единицей, которая определена в системе аксиом (аксиомы 3 и 4 ).

vedro-compota's picture

Вы правы) тут опечатка вместо:

то есть $A^t=0$

надо написать:

то есть $t=0$

исправил в тексте. Спасибо за замечание)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)