Связь между теоремами о перестановочности циклов
Primary tabs
При доказательстве теоремы о перестановочности циклов доказательство опирается на упрощенный случай, в котором рассматриваются два цикла.
То есть происходит логичный переход от частного к общему.
Однако в первой же строке я вижу фразу о том, что теорема о циклах, составляющих одну и ту же подстановку (подразумевается некоторое конечное количество циклов, но больше 2) рассматривается, как следствие более общей теоремы, в которой речь идет только о двух циклах.
Думаю, корректно было бы просто сказать, что данная теорема является следствием доказанной ранее теоремы.
- Log in to post comments
- 14130 reads
vedro-compota
Tue, 02/09/2016 - 15:21
Permalink
уточнение
слово данная сделайте ссылкой, словосоч. доказанной ранее тоже. Так проще будет понять что вы считаете более общим, а что частным)
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
vedro-compota
Tue, 02/09/2016 - 15:39
Permalink
по теме вопроса
Пусть (по времени их добавления):
Теперь к вопросу:
тут есть несколько моментов:
То есть тут можно предлагать изменить формулировку Т1 - сказав про два цикла, но, быть может, можно показать, что перестановочность двух любых элементов приводит (/из ней следует) к перестановочности любого количества элементов (тут нужны комментарии от math2).
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
JaKarta
Tue, 02/09/2016 - 16:02
Permalink
Я исхожу из того, что первая
Я исхожу из того, что первая теорема представляет собой упрощенный случай, в котором даже в формулировке оговаривается, что речь идет о двух циклах. И она появляется раньше. А уже, опираясь на нее и на прием доказательства этой теоремы, мы переходим к более общему случаю, в котором доказываем, что вообще любые циклы перестановочны.
vedro-compota
Tue, 02/09/2016 - 16:08
Permalink
))
не любые вообще, а лишь любые два цикла, входящие в одну подстановку (другого там не доказывается).
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
vedro-compota
Tue, 02/09/2016 - 15:58
Permalink
общность и логичность
такой переход в математике обычно рискован. Т.к. более "сильная" теорема это как раз таки "более общая" теорема - исходя из неё можно смело судить о частном, но не наоборот.
У нас Т2 "более общая" (может эту фразу вообще надо убрать?) только тем, что в ней нет слов (а в Т1 такие слова есть) о том, что циклы входят в состав какой-то подстановки.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Tue, 02/09/2016 - 20:32
Permalink
JaKarta!
JaKarta!
Это неправильная трактовка.
Строка
$$
T=(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)(\beta_1 ... \beta_l)\ ...\ (\gamma_1\ ...\ \gamma_k)
$$
не говорит о том, что циклов должно быть не меньше трёх. Она лишь показывает,
что подстановка $T$ представлена некоторым количеством циклов.
Можно даже считать, что теорема 1 верна и в том случае, когда подстановка представляет собой один цикл. Тогда два экземпляра этого цикла перестановочны.
Я это так себе и представлял, о чём написано здесь.
Однако же с фразой
я не согласен.
vedro-compota
Tue, 02/09/2016 - 20:56
Permalink
math2, JaKarta
math2, теорема Т2, где нет требования принадлежности к подстановке всё же носит более общий характер, в силу отсутствия этого требования.
А вот в Т1, на мой взгляд,
просто не совсем соответствуют формулировка и док-во. Там действительно не обговаривается случай когда подстановка состоит из одного цикла. Если же она состоит из одного цикла, то говоря о дублировании - как вы сказали:
- мы фактически отрываемся от ситуации, где эти циклы часть какой-то подстановки и говорим уже не о Т1, а о Т2.
Чтобы формулировка Т1 соотв. док-ву, я бы переписал для Т1 её так:
Теорема. Два цикла, составляющие одну и ту же подстановку, перестановочны.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
vedro-compota
Tue, 02/09/2016 - 21:16
Permalink
math2
просьба ответить здесь
_____________
матфак вгу и остальная классика =)