Связь между теоремами о перестановочности циклов

При доказательстве теоремы о перестановочности циклов доказательство опирается на упрощенный случай, в котором рассматриваются два цикла.
То есть происходит логичный переход от частного к общему.
Однако в первой же строке я вижу фразу о том, что теорема о циклах, составляющих одну и ту же подстановку (подразумевается некоторое конечное количество циклов, но больше 2) рассматривается, как следствие более общей теоремы, в которой речь идет только о двух циклах.
Думаю, корректно было бы просто сказать, что данная теорема является следствием доказанной ранее теоремы.

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

vedro-compota's picture

Думаю, корректно было бы просто сказать, что данная теорема является следствием доказанной ранее теоремы.

слово данная сделайте ссылкой, словосоч. доказанной ранее тоже. Так проще будет понять что вы считаете более общим, а что частным)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

vedro-compota's picture

Пусть (по времени их добавления):

  1. Т1 = Циклы, составляющие одну и ту же подстановку, перестановочны - теорема
  2. Т2 = Если два цикла не содержат общих элементов, то они перестановочны

Теперь к вопросу:

Думаю, корректно было бы просто сказать, что данная теорема является следствием доказанной ранее теоремы.

тут есть несколько моментов:

  1. Обе теоремы доказаны независимо друг от друга - одно доказательство н а другое не опирается (так как это сейчас, просто предлагается из Т2 вывести Т1, но это другое)
  2. В Т1 есть указание, что её можно просто вывести из Т2:

    Данная теорема может рассматриваться, как следствие более общей.

  3. По сути в Т1 действительно рассматривается перестановочность только двух циклов (в доказательстве)

То есть тут можно предлагать изменить формулировку Т1 - сказав про два цикла, но, быть может, можно показать, что перестановочность двух любых элементов приводит (/из ней следует) к перестановочности любого количества элементов (тут нужны комментарии от math2).

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

JaKarta's picture

Я исхожу из того, что первая теорема представляет собой упрощенный случай, в котором даже в формулировке оговаривается, что речь идет о двух циклах. И она появляется раньше. А уже, опираясь на нее и на прием доказательства этой теоремы, мы переходим к более общему случаю, в котором доказываем, что вообще любые циклы перестановочны.

vedro-compota's picture

не любые вообще, а лишь любые два цикла, входящие в одну подстановку (другого там не доказывается).

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

vedro-compota's picture

логичный переход от частного к общему

такой переход в математике обычно рискован. Т.к. более "сильная" теорема это как раз таки "более общая" теорема - исходя из неё можно смело судить о частном, но не наоборот.

У нас Т2 "более общая" (может эту фразу вообще надо убрать?) только тем, что в ней нет слов (а в Т1 такие слова есть) о том, что циклы входят в состав какой-то подстановки.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

JaKarta!

теорема о циклах, составляющих одну и ту же подстановку (подразумевается некоторое конечное количество циклов, но больше 2)

Это неправильная трактовка.
Строка
$$
T=(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)(\beta_1 ... \beta_l)\ ...\ (\gamma_1\ ...\ \gamma_k)
$$
не говорит о том, что циклов должно быть не меньше трёх. Она лишь показывает,
что подстановка $T$ представлена некоторым количеством циклов.

Можно даже считать, что теорема 1 верна и в том случае, когда подстановка представляет собой один цикл. Тогда два экземпляра этого цикла перестановочны.

Думаю, корректно было бы просто сказать, что данная теорема является следствием доказанной ранее теоремы.

Я это так себе и представлял, о чём написано здесь.

Однако же с фразой

следствием более общей теоремы

я не согласен.

vedro-compota's picture

Однако же с фразой

следствием более общей теоремы

я не согласен.

math2, теорема Т2, где нет требования принадлежности к подстановке всё же носит более общий характер, в силу отсутствия этого требования.

А вот в Т1, на мой взгляд,
просто не совсем соответствуют формулировка и док-во. Там действительно не обговаривается случай когда подстановка состоит из одного цикла. Если же она состоит из одного цикла, то говоря о дублировании - как вы сказали:

Тогда два экземпляра этого цикла перестановочны

- мы фактически отрываемся от ситуации, где эти циклы часть какой-то подстановки и говорим уже не о Т1, а о Т2.

Чтобы формулировка Т1 соотв. док-ву, я бы переписал для Т1 её так:

Теорема. Два цикла, составляющие одну и ту же подстановку, перестановочны.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

vedro-compota's picture

_____________
матфак вгу и остальная классика =)