Упр. 6 - справедливость индукции при n = 3 - "все группы коммутативны"

Здесь мой вопрос/уточнение по поводу хода "док-ва" в упражнении 6.

Доказательство, предположения проведённо по индукции должно выполняться при любом $n$.
Пусть $n = 3$, тогда $n + 1 = 4$, и пусть $i = 2$, а $j = 4$, тогда (сразу поменяем местами $i$-ый и $j$-ый элементы):
$$ \underbrace{A_1}_{B} A_j \underbrace{A_3}_{C} A_i = J $$
Введём обозначения - так, как и там:

$A_1,...A_{i-1} = B$, $A_{i+1}.....A_{j-1} = C$, $A_{j+1}.....A_{n+1} = D$, мы получим соотношение $BA_iCA_jD = J$

Но в нашем случае получаем соотношение:
$$B A_j C A_i = J $$
И число элементов не уменьшилось. А потому доказательство по индукции таким способом при $n = 3$ не работает. Да? Прошу прокомментировать.