Упражнение 6. Идея решения.

Парадокс. Все группы коммутативны.

Непосредственная проверка.
Пусть имеется $\mathfrak{A_2} = (A_1,A_2,J) $, и справедливо
$ A_1A_2=J $. Действительно, по аксиоме $4$

$\forall{A_i}$ группы $ \exists{A_j} $ такое, что справедливо $ A_iA_j=J$.
Для определенности зафиксируем элемент $ A_1 $, тогда видим, что $ A_2 $ - правый обратный элемент (выполняется аксиома $4$). Согласно теореме $ 3 $ видим, что $ A_2 $ так же является и левым обратным элементом для $ A_1 $, то есть $ A_1A_2=$ $A_2A_1 $.

Воспользуемся индукционным переходом.
Проведем аналогичное рассуждение для группы $\mathfrak{A_n} = (A_1,A_2,\ldots,A_n,J) $.

Имеем $ BA_iCA_jD=J$, $ BA_jCA_iD=J$ для произвольных $ A_i \neq A_j $
Приравняем левые части равенств:
$ BA_iCA_jD= BA_jCA_iD$

Для удобства введем обозначение $ X= A_iCA_j$, $Y=A_jCA_i$.
тогда равенство примет вид: $ BXD= BYD$

Пользуясь законом ассоциативности
($ B(XD)=(BX)D$, $ B(YD)=(BY)D$), запишем равенство в виде
$(BX)D=(BY)D$

Согласно аксиоме $ 4$ в группе $ \mathfrak{A_n} $ можно найти правый обратный элемент $ D' $для $ D $. Умножим обе части равенства на $ D' $ справа:

$(BX)DD'=(BY)DD'$,

$ BX=BY $, где $ X= A_iCA_j$, $Y=A_jCA_i$

Возвращаясь к исходным обозначениям, имеем: $BA_iCA_j=BA_jCA_i$. Рассуждая аналогичным образом (используя аксиому $ 4 $ и теорему $ 3 $) умножим слева обе части равенства на левый (он же правый) обратный элемент $ B' $для $ B $:

$B'BA_iCA_j=B'BA_jCA_i$

$A_iCA_j=A_jCA_i$

Пользуясь законом ассоциативности

($ A_i(CA_j)=(A_iC)A_j$, $(A_jC)A_i=A_j(CA_i)$), запишем равенство в виде

$ (A_iC)A_j=A_j(CA_i) $

Вновь обращаясь к аксиоме $ 4 $ и теореме $ 3 $, видим, что равенство имеет место только при условии $ A_iC=CA_i $ , а это равенство, в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда $ A_i $ -обратный элемент для $ C $ .

С другой стороны,
Пользуясь законом ассоциативности

($ A_i(CA_j)=(A_iC)A_j$, $(A_jC)A_i=A_j(CA_i)$), запишем равенство в виде

$ A_i(CA_j)=(A_jC)A_i $

рассуждая аналогичным образом, имеем $ CA_j=A_jC$ тогда и только тогда, когда $A_j $ -обратный элемент для $ C $.
Но полагалось, что $ A_i \neq A_j $, что приводит к противоречию с теоремой о единственности обратного элемента.

Таким образом, индукционное предположение не верно.

$\forall{A_i}$ группы $ \exists{A_j} $ такое, что справедливо $ A_iA_j=J$.
Для определенности зафиксируем элемент $ A_1 $, тогда видим, что $ A_2 $ - правый обратный элемент (выполняется аксиома $4$). Согласно теореме $ 3 $ видим, что $ A_2 $ так же является и левым обратным элементом для $ A_1 $, то есть $ A_1A_2=$ $A_2A_1 $.

Вы правильно доказали базу индукции.

Далее, пусть у нас есть выражение

$$
BA_iCA_jD= BA_jCA_iD = J.
$$

Умножим его слева на $B^{-1}$, и справа на $D^{-1}$:
$$
A_iCA_j= A_jCA_i = B^{-1}D^{-1}.
$$
Здесь уже не исключена ситуация $B^{-1}D^{-1}\neq J$.
Поэтому нельзя сказать, что $(A_iC)$ является обратным для $A_j$.

Проведем аналогичное рассуждение для группы $\mathfrak{A_n} = (A_1,A_2,\ldots,A_n,J)$

Обозначение $(A_1,A_2,\ldots,A_n,J)$ иногда используется для обозначения группы, порождённой элементами $\{J,\ A_1,\ ...,\ A_n\}$.
Символ $\mathfrak{A}_n$ мы будем использовать для обозначения знакопеременной группы.

Лучше считать, что дана группа $\mathfrak{G}$, $A_i\in\mathfrak{G}$, и
просто рассматривать выражения
$$
A_1A_2=J,
$$
$$
A_1A_2\ ...\ A_n=J.
$$

vedro-compota's picture

Что означает запись:

$\mathfrak{A_2} = (A_1,A_2,J) $

?
Обновлено: понял, прочитал в комментарии выше:

Обозначение $(A_1,A_2,\ldots,A_n,J)$ иногда используется для обозначения группы, порождённой элементами $\{J,\ A_1,\ ...,\ A_n\}$.
Символ $\mathfrak{A}_n$ мы будем использовать для обозначения знакопеременной группы.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)