Конечное линейно упорядоченное множество есть вполне упорядоченное -- почему?

Из обсуждения:

Предложение. Пусть $M$ --- конечное линейно упорядоченное множество.
Тогда $M$ --- вполне упорядоченное множество.

Почему это так?
Ведь в линейно упорядоченном множестве вообще все элементы могут быть просто $=$ друг другу (предположим, что мы задали некую упорядоченность, для которой все элементы равны)- и тогда среди них не будет минимального $\Rightarrow$ конечное лин. упорядоченное множество вполне упорядоченным не будет.

Но если во множестве все элементы равны друг другу, разве это не значит, что в этом множестве всего один элемент? Тогда непустое подмножество этого множества будет состоять лишь из одного элемента. Его и можно принять за минимальный, так как не найдётся предшествующий ему.

предположим, что мы задали некую упорядоченность, для которой все элементы равны

В таком множестве не будет упорядоченности, так как для любых двух различных его элементов не определено, какой из них какому предшествует.

vedro-compota's picture

идею понял, тогда надо как-то уточнить определение линейной упорядоченности. Потому что всё же мы говорим о "введении порядка на множестве" произвольным образом...

_____________
матфак вгу и остальная классика =)