Четность подстановки в зависимости от способа разложения на транспозиции

Четность подстановки не зависит от способа ее разложения на транспозиции. Каждую подстановку можно разложить на транспозиции не одним, а многими способами. Замечательно, что при этом четность числа получаемых транспозиций остается одной и той же. Проще всего убедиться в этом, если обратить внимание на то, что каждая транспозиция меняет знак выражения:
$$
(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)\ldots(x_{n-1}-x_n)=\prod_{i \lt k}(x_i-x_k) \;\;\;\;\; (6)
$$
В самом деле, посмотрим, какое действие оказывает на выражение (6) транспозиция
$ (x_1,x_2) $.
Для этого перепишем выражение (6) так:
$$
(x_1-x_2)\cdot\prod_{i=3}^n(x_1-x_i)\cdot\prod_{i=3}^n(x_2-x_i)\cdot\prod_{i \lt k}(x_i-x_k) \;\;\;\;\; (7),
$$
где в последнем произведении значки $ i $ и $ k $ пробегают значения $ 3,4,\ldots,n $. Транспозиция:
$ (x_1,x_2) $
меняет знак первого множителя:
$ (x_1-x_2) $
и обращает второе произведение в третье, третье во второе, а на последнее не оказывает никакого действия. Поэтому все произведение (7) изменит знак. Это утверждение доказывается аналогично для всякой другой транспозиции.

Если таким образом подстановка разлагается на четное число транспозиций, то она не изменит знака в выражении (6); если же на нечетное, то изменит. Поэтому подстановка вполне определяет собой четность числа транспозиций, на которые она разлагается. Подстановку принято называть четной или нечетной, в зависимости от того, оставляет ли она выражение (6) неизменным или меняет знак.