Упражнение 7. Идея док-ва. Чеботарёв - Подмножество группы само группа, если замкнуто относительно композиции

Докажем упражнение 7:

Упражнение 7. Доказать следующее: чтобы убедиться, что некоторая совокупность элементов конечной группы $\mathfrak{G}$ составляет группу $\mathfrak{H}$, достаточно показать, что произведение любых двух элементов этой совокупности тоже принадлежит этой совокупности (дело сводится к проверке аксиом 3 и 4).

Доказательство:
1) Покажем, что в $\mathfrak{H}$ существует единичный элемент:
Возьмём некоторый элемент $A \in \mathfrak{H}$.

В конечной $\mathfrak{G}$ выбранный нами элемент $A$ обладает конечным порядком, следовательно мы не сможем постоянно добавлять очередной множитель в произведение:
$A* A* A* A*...$
и каждый раз получать новый элемент (в том числе в силу конечности $\mathfrak{H} \subset \mathfrak{G}$). Тогда $\exists m,n: m > n$:
$ A^m = A^n$
Пусть для определённости $m > n$ и $m - n = k$, тогда:
$ A^m = A^n$
$ A^m = A^n * A^{m-n} = A^n * A^{k} $
Но тогда $A^{k}$ оказывается правой единицей, то есть мы обнаружили необходимость существования единичного элемента в $\mathfrak{H}$.

Данный пункт можно было доказать ещё короче:

В конечной $\mathfrak{G}$ выбранный нами элемент $A$ обладает конечным порядком

Следовательно, существует такой $k\in\mathbb{N}$, что $A^k=J$.
Следовательно, $J\in\mathfrak{H}$.

2) Покажем, что для $\forall A \in \mathfrak{H} $ $ \exists A^{-1} \in \mathfrak{H}: A*A^{-1} = J$ - то есть что существует обратный элемент:
Снова вернёмся к части док-ва 1) , а именно к записи:
$ A^m = A^n * A^{m-n} = A^n * A^{k} $
Мы показали в предыдущем пункте, что $A^{k} = J$, но тогда и:
$A * A^{k-1} = J$,
а значит $A^{k-1} = A^{-1}$, то есть правый обратный элемент в $\mathfrak{H} $ действительно существует для произвольного элемента.

ОК

(подразумеваем, что это не единица)

Это лишнее предположение. Не нужно исключать случай, когда $\mathfrak{H}=\{J\}$.

vedro-compota's picture

Это лишнее предположение.

убрал

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

В конечной $\mathfrak{G}$ выбранный нами элемент $A$ обладает конечным порядком

Следовательно, существует такой $k\in\mathbb{N}$, что $A^k=J$.
Следовательно, $J\in\mathfrak{H}$.

vedro-compota's picture

благодарю. Указал, что можно использовать данное куда более краткое док-во

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

множитель в ряд:
$A∗A∗A∗A∗...$

Это не ряд.

vedro-compota's picture

поправил, заменил на:

...постоянно добавлять очередной множитель в произведение:

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Вы исходите из того, что

В конечной $\mathfrak{G}$ выбранный нами элемент $A$ обладает конечным порядком,

Отсюда и из замкнутости множества $\mathfrak{H}$ относительно композиции сразу же следует,
что $J\in\mathfrak{G}$.
Зачем нужно записывать что-то ещё?

vedro-compota's picture

просто для сравнения пусть останется - краткую версию я тоже добавил в текст.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Но так нельзя рассуждать.

В конечной $\mathfrak{G}$ выбранный нами элемент $A$ обладает конечным порядком

тогда $A^{k}$ оказывается правой единицей,

Между этими фразами остаётся лишь добавить
"Обозначим этот порядок через $k$."

Необходимо чётко обозначать, что является исходными данными, и что является результатом.

Что будет исходными данными

В конечной $\mathfrak{G}$

элемент $A$ обладает конечным порядком

или

в силу конечности $\mathfrak{H} \subset \mathfrak{G}$

?

vedro-compota's picture

Начал переписывать уже, но потом подумал:

Между этими фразами остаётся лишь добавить

"Обозначим этот порядок через k."

Этот вариант изложен же - как более краткий.

Хотелось бы сохранить и первый - так как там мы как бы обнаруживаем единичный элемент внутри именно подгруппы $\mathfrak{H}$, показывая что мы опираемся только на произведение (таким образом просто ещё раз иллюстрируется понятие порядка элемента).

Что будет исходными данными

В конечной $\mathfrak{G}$

элемент $A$ обладает конечным порядком

или

в силу конечности $\mathfrak{H} \subset \mathfrak{G}$

- из конечности $\mathfrak{G}$ следует конечность $\mathfrak{H}$, а дальше рассуждение строится на конечности $ \mathfrak{H}$.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Но запись такова, что из

В конечной $\mathfrak{G}$ выбранный нами элемент $A$ обладает конечным порядком

мы получаем

$A^{k}$ оказывается правой единицей

Ясно, что если предложение $P$ --- истина, то предложение $P$ --- истина.