Свойство выпуклой вверх функции - доказательство

Пусть у нас есть строго выпуклая вверх функция $f(x)$ определённая при $x \geq 0$, тогда по определению для неё справедливо неравенство (коэффициенты $\alpha_1$, $\alpha_2$: $\alpha_1 + \alpha_2 = 1$):

$$f(\alpha_1 x_1+ \alpha_2 x_2) \gt \alpha_1 f(x_1) + \alpha_2 f(x_2) $$
Пусть также $f(x)$:

• $f(0) = 0;$
• монотонна при $x \geq 0$

Доказать, что для чисел $a, b: 0 \lt a \lt b$ для функции $f(x)$ справедливо:
$$f(a + b) - f(b) \lt f(a) - f(0) = f(a)$$
или:
$$f(a + b) \lt f(a) + f(b) $$

далее док-во основанное на подсказке.

Доказательство

Рассмотрим интервал $(0,\ a+b)$.
Тогда мы сможем выразить координаты точек $a, b$ через линейную комбинацию координат концов и данного отрезка с неотрицательными коэффициентами $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\in \mathbb{R}$, что

$a = \alpha_1\cdot 0 + \alpha_3\cdot (a+b)$, где $(a_1+a_3)\leq 1$,

$b = \alpha_2\cdot 0 + \alpha_4\cdot(a+b)$, где $(a_2+a_4)\leq 1.$

Тогда получим, что (1):
$\displaystyle \alpha_3 = {a\over{(a+b)}} \;\;\;\;\;\; (1.1) $
$\displaystyle \alpha_4 = {b\over{(a+b)}} \;\;\;\;\;\; (1.2)$

Точки $a, b$ принадлежат интервалу $(0,\ a+b)$, тогда запишем для них неравенство строго выпуклой функции, используя указанные выше коэффициенты $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\in \mathbb{R}$.

Сначала выпишем неравенство для точки $a$:
$f(\alpha_1 0 + \alpha_3 (a + b)) \gt \alpha_1\cdot f(0) + \alpha_3\cdot f(a+b)$,
$f(\alpha_3 (a + b)) \gt \alpha_3\cdot f(a+b)$

Затем для точки $b$:
$f(\alpha_2 0 + \alpha_4 (a + b)) \gt \alpha_2\cdot f(0) + \alpha_4\cdot f(a+b)$,
$f(\alpha_4 (a + b)) \gt \alpha_4\cdot f(a+b)$

Выполним замену, используя равенства (1.1) и (1.2), получим:
$f(a) \gt \alpha_3\cdot f(a+b)$
$f(b) \gt \alpha_4\cdot f(a+b)$

Сложим последние два неравенства:
$f(a) + f(b) \gt \alpha_3\cdot f(a+b) + \alpha_4 \cdot f(a+b)$
$f(a) + f(b) \gt \cdot f(a+b)(\alpha_3 + \alpha_4)$
$\displaystyle f(a) + f(b) \gt f(a+b)({a\over{(a+b)}} + {b\over{(a+b)}})$
$\displaystyle f(a) + f(b) \gt f(a+b)({a + b\over{a+b}})$
Или:
$ f(a+b) \lt f(a) + f(b)$

Доказано)