Решение многих задач связано с рассмотрением пропорциональных величин; применение правил #48 механизирует решение таких задач, сводя их к единой схеме, показанной ниже на примерах.
Пример 1.
Суточное потребление топлива на заводе составляло до проведения рационализации $1,8$ т; годовой расход на топливо составлял $3000$ руб. После проведения рационализации суточное потребление снизилось до $1,5$ т. Какую сумму расходов на топливо нужно запланировать на год?
Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно, длина стороны квадрата зависит от его площади. Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным. Пример.
Вес керосина пропорционален его объему; $2$ л керосина весят $1,6$ кг. $5$ л весит $4$ кг, $7$ л весят $5,6~\text{кг}$.
Частное от деления одного числа на другое называется также их отношением. Термин «отношение» применялся прежде только в тех случаях, когда требовалось выразить одну величину в долях другой, однородной с первой, например одну длину в долях другой, одну площадь в долях другой площади и т. д., что выполняется с помощью деления (см. #24). Отсюда понятно, почему появился особый термин «отношение»: раньше его смысл был иной, чем термина «деление», который относили к делению некоторой именованной величины на отвлеченное число.
Если ср. ар.. получено из сравнительно небольшого ряда данных измерения (например, из $10$, как в примере 1 #45), то не исключена возможность, что истинная величина несколько отклоняется от вычисленной средней. Тогда важно знать, как велико может быть это отклонение; речь идет не о теоретически мыслимом отклонении (оно может быть как угодно велико), а о практически возможном (ср. пример 2 #45).
Числа, берущиеся для вычисления ср. ар., обычно мало отличаются друг от друга. Тогда вычисление ср. ар. можно очень облегчить с помощью следующего приема:
Если дан ряд величин, то всякая величина, заключенная между наименьшей и наибольшей из данных величин, называется «средней». Из средних величин наиболее употребительны средняя арифметическая и средняя геометрическая.
Средняя арифметическая (или среднее арифметическое) получается от сложения данных величин и деления суммы на число этих величин:
$$\text{ср. ар.} = \dfrac{a_1 + a_2 +\dots + a_n}{n}$$
($a_1, a_2, \dots, a_n$ - данные величины, $n$ — их число).
Возведение в (целую) степень есть повторное умножение, и потому к нему относится все сказанное в #40—#41. При возведении в небольшую степень результат имеет столько же верных цифр, сколько взятое число, или содержит небольшую ошибку в последнем знаке. Если же степень велика, то накопление небольших ошибок может отразиться и на цифрах высшего разряда.
