Деление приближенных чисел

Правило 1.
Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя (ср. 39)

Пример 1.

#41 Сокращенное умножение

Применяя правила умножения точных чисел к числам приближенным, мы нерационально тратим время и труд на вычисление тех цифр, которые затем нужно откинуть. Вычислительный процесс можно рационализировать, если руководствоваться следующими правилами:

#40 Подсчёт точных знаков при умножении

Погрешность произведения можно оценить проще (но зато грубее), чем по способу #39. Эта оценка основана на следующем правиле:

#39 Погрешность произведения

Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей. (О точной величине предельной погрешности см. замечание к Примеру 1.)

Пример 1.
Пусть перемножаются приближенные числа $50$ и $20$ и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя есть $0,4\%$, а второго $0,5\%$. Тогда предельная относительная погрешность произведения $50 \cdot20 = 1000$ приближенно равна $0,9\%$.

#38 Погрешность суммы и разности

Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Пример 1.
Складываются приближенные числа $265$ и $32$. Пусть предельная погрешность первого есть $5$, а второго $1$. Тогда предельная погрешность суммы равна $5 + 1 = 6.$ Так, если истинное значение первого есть $270$, а второго $33$, то приближенная сумма $(265 + 32 = 297)$ на $6$ меньше истинной $(270 + 33 = 303)$.

#37 Предварительное округление при сложении и вычитании

Если не все данные числа заканчиваются на одном и том же разряде, то до выполнения сложения или вычитания следует произвести округление. Именно, нужно удержать лишь те разряды, которые верны у всех слагаемых. Остальные отбрасываются как бесполезные.

При небольшом числе слагаемых все цифры суммы, кроме последней, будут верны. Последняя может быть не вполне точной. Эту неточность можно свести к минимуму, если учесть влияние цифр следующего разряда (запасные цифры).

Пример 1.
Найти сумму $25,3 + 0,442 + 2,741$.

#36 Абсолютная и относительная погрешность

Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)1)

Пример 1.
На предприятии $1284$ рабочих и служащих. При округлении этого числа до $1300$ абсолютная погрешность составляет $1300 - 1284 = 16$. При округлении до $1280$ абсолютная погрешность составляет $1284 - 1280 = 4$.

#35 Правила округления

В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа как приближенные, так и точные, т. е. отбрасывать одну или несколько последних цифр. Чтобы обеспечить наибольшую близость округленного числа к округляемому, соблюдаются следующие правила.

#34 Способ записи приближенных чисел

При приближенных вычислениях отличают запись $2,4$ от $2,40$ запись $0,02$ от $0,0200$ и т. д. Запись $2,4$ означает, что верны только цифры целых и десятых; истинное же значение числа может быть, например, $2,43$ или $2,38$ (при отбрасывании цифры 8 происходит округление в сторону увеличения предшествующей ей цифры; см. #35). Запись $2,40$ означает, что верны и сотые доли; истинное число может быть $2,403$ или $2,398$, но не $2,421$ и не $2,382$.

#33 О приближенных вычислениях

Числа, с которыми мы имеем дело в жизни, бывают двух родов. Одни в точности дают истинную величину, другие — только приблизительно. Первые называют точными, вторые — приближенными. Часто мы сознательно берем приближенное число вместо точного, так как последнее нам не требуется. Во многих же случаях точное число невозможно найти по сути дела.
Пример 1.
В этой книге $420$ страниц; число $420$ — точное.

Пример 2.
В шестиугольнике $9$ диагоналей; число $9$ — точное.

Pages

Subscribe to fkn+antitotal RSS