Градиентная инвариантность потенциалов

[используемый учебник(читать подробнее)]

Градиентная инвариантность потенциалов

Инвариантность векторного потенциала

Рассмотрим уравнения, которые определяют понятия скалярного и векторного потенциалов.
На основании данных уравнений можно утверждать ,что векторный потенциал определён с точностью до градиента скалярной функции - например функции "х" - то есть =

А' = А + grad(x)

Действительно =
1234

Данное равенство справедливо в силу того, что ротор градиента равен нулю.

Таким образом векторные потенциалы A и A' приводят к одному и тому же значению вектора индукции B

Инвариантность скалярного потенциала

Теперь выясним - как должен преобразовываться скалярный потенциал ?, чтобы вектор E не менялся.
С учётом определения скалярного потенциала =
12436
а также на основании ранее упоминавшегося равенства =

А' = А + grad(x)

Запишем =
13451346

На основании предыдущего равенства можно сделать вывод , что преобразования скалярного потенциала вида:
1345

не меняют значения электрического поля (вектора напряжённости электрического поля).

Следовательно - скалярный потенциал определён с точность до производной по времени функции x (первоначально вы ввели её выше при рассмотрении инвариантности векторного потенциала)

Вывод

Таким образом инвариантность электромагнитного опля относительно преобразований:

А' = А + grad(x); - для векторного потенциала

и

ф' = ф - (1/c)*(dx/dt); - для скалярного потенциала

называется градиентной инвариантностью, а преобразование - градиентными преобразованиями.

ПРИМЕЧАНИЕ: неоднозначность определения скалярного и векторного потенциала позволяет утверждать , что данные величины - А и ф - не имеют физического смысла , а просто являются вспомогательными математическими конструкциями.