Запаздывающие потенциалы - Волновые уравнения для потенциалов

[используемый учебник(читать подробнее)]

Запаздывающие потенциалы

Если подставить данное условие - условие калибровки Лоренца -
13432к345
в уравнения для скалярного у векторного потенциалов - а именно
1) для скалярного:
132451345
2) для векторного:
2345укв643

то мы получим два уравнения - неоднородные волновые уравнения д’Аламбера: - соответственно -
справа - для скалярного потенциала с учётом калибровки Лоренца
слева - для векторного потенциала опять же - с учётом калибровки Лоренца

а именно -
1234513ееп

Система из двух уравнений выше совместно с определениями векторного и скалярного потенциалов полностью
эквивалентна системе уравнений Максвелла

и решение этой системы при отсутствии специальных граничных
условий можно выписать при произвольных ? и j - решения для скалярного и векторного потенциалов:
143534

где=

? = t?|r?r'|/c ;

Данные решения неоднородных волновых уравнений д’Аламбера называются запаздывающими
потенциалами
, так как значение поля в точке r в момент времени t определяется распределением зарядов и
токов в предшествующие моменты времени. Это соответствует принципу причинности в физике.

Приведённые выше неоднородные волновые уравнения д’Аламбера имеют также отличные от нуля решения вида (73) в которых

? = t+|r-r'|/c ;

- то есть плюс , а не минус -
Такие решения называются опережающими и так как они не соответствуют принципу причинности - то в физических решениях опускаются.

ПРИМЕЧАНИЕ: (со слов Борзунова С.В.)
Корректно сказать так:

при использовании лоренцевской калибровки потенциалы phi и A
удовлетворяют соответствующим _волновым_ уравнениям
(см. Мешков, Чириков, Электромагнитное поле, т.2, стр.101).

В других калибровках (или вообще без дополнительных условий) это не
всегда верно, напр, для кулоновской калибровки для phi уравнение уже не
будет иметь вид волнового.