При запросе к API (guzzle) перестают открываться все страницы сайта (даже после закрытия зависшей вкладки) -- в чем причина

Причина оказалась в блокировке сессий, которая возникала потому что:

1. yii2 сам по себе не закрывает сессию как минимум до конца работы контроллера
2. при этом если вы делаете запрос к какой-то внешней системе и она долго не отвечает, то сессия оказывается заблокированной и для всех остальных страниц (ведь они пытаются стартануть ту же сессию).
3. даже если вы закрываете вкладку браузера, процесс на сервере продолжает выполняться, т.е. это "не помогает" -- поможет тут для данного пользователя с его заблокированной сессией только перезагрузка сервера, или вам надо дождаться таймаута работы скрипта.

Решение

В качестве решения в моём случае, я просто явно закрыл сессию (как одно из решений для общего случая) перед выполением потенциально долгих запросов.