Линейное (векторное) пространство -- определение

Линейное (векторное) пространство $V$ над полем $F$ -- это множество (элементы $V$ называют векторами, а элементы поля $F$ скалярами), для которого определены две операции:

1. Операция сложения векторов $V \times V \rightarrow V$, эта операция ставит в соответствие произвольной паре векторов $x$ и $y$ из $V$ единственный элемент $z = x + y$ из того же множества $V$ (т.е. тоже являющийся вектором), называемый их суммой.
   Это значит, что в векторном пространстве вектора можно складывать, и результатом суммы будет вектор.
2. Операция умножения векторов на скаляры $V \times F \rightarrow V$ -- ставит в соответствие произвольному скаляру $a \in F$ и произвольному вектору $x \in V$ единственный элемент (вектор) $p = a \cdot x = a x \in V$.
   Т.е. в векторном пространстве вектора можно умножать на скаляры из поля (напр. числа) и получать в качестве результата такого произведения вектор.

Причем заданные выше две операции должны соответствовать следующим восьми аксиомам векторного (линейного) пространства:

1. Коммутативность сложения: $x + y = y + x$ для любых $x,y \in V$ (т.е. порядок слогаемых не имеет значения)
2. Ассоциативность сложения: $(x + y) + z = x + (y + z)$ для любых $x,y,z \in V
3. Существование нулевого вектора: существует вектор $0 \in V$ такой, что $x + 0 = 0 + x = x$ для любого $x \in V$, такой элемент также называют нулём пространства $V$.
4. Существование противоположного элемента: для любого вектора $x \in V$ существует такой элемент $-x$, что $x + (-x) = 0$. Элемент $-x$ называется противоположным элементу $x$.
5. Ассоциативность умножения на скаляр: $(\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$, для любых $x \in V$ и $\alpha, \beta \in F$.
6. Существование нейтрального по умножению скаляра:
   существует некоторый элемент, обозначим его как $1$ (причем $1 \in F$), такой что $1 \cdot x = x, \forall x in V$ (при умножении на такой элемент, который можно назвать "единичным", вектор сохраняется неизвенным)
7. $(\alpha + \beta) x =\alpha x + \beta x $ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров)
8. $\alpha (x + y) =\alpha x +\alpha y $ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов)