Линейное отображение (линейный оператор), линейное преоразование -- определение. Свойство линейности

Линейным отображением векторного пространства $L_k$ над полем $K$ в пространство $M_k$ над тем же полем $K$ называется отображение:
$ \large f: L_k \rightarrow M_k $
обладающее свойством линейности (что подразумевает выполнение двух условий):

  1. $f(x + y) = f(x) + f(y)$ для всех $x,y \in L_k$
  2. $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ для всех $x \in L_k$ и всех $\alpha \in K$.

Если $L_k$ и $M_k$ — это одно и то же векторное пространство, то $f$ называют линейным преобразованием.

vedro-compota's picture

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

vedro-compota's picture

Как доказать, что линейный оператор вообще отображает в ноль хоть что-нибудь?

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Пусть $f: L_k \rightarrow M_k$ --- линейный оператор.
Тогда $f(0_L)=f(0_L+0_L)=f(0_L)+f(0_L)$.
Получается $f(0_L)=f(0_L)+f(0_L)$.
Для $f(0_L)\in M_k$ существует противоположный (обратный) элемент $-f(0_L)\in M_k$:
$-f(0_L)+f(0_L)=-f(0_L)+f(0_L)+f(0_L)$.
$0_M=f(0_L)$.

Для произвольной группы $G$ показывается, что если $B\in G$ и $B^2=B$, то $B$---нейтральный элемент $G$.