Свойство "линейности" и его значение. Линейные и нелинейные отображения (операторы)

Primary tabs

vedro-compota's picture
Submitted by vedro-compota on Fri, 12/07/2018 - 20:09

Forums:

"Cвойство линейности" для отображения (отсюда):

  1. $f(x + y) = f(x) + f(y)$ для всех $x,y \in L_k$
  2. $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ для всех $x \in L_k$ и всех $\alpha \in K$.

-- смысл данных свойств в сохранении соотношений между элементами, участвующими в операциях/выражениях (в данном случае сложения векторов и умножения на число).

Поясним: пусть у нас есть выражение:
$$\alpha x + \beta y + .... + \gamma z = 0_L$$
применим ко всем элементам векторного пространства, участвующим в этом выражении линейный оператор $f: L \rightarrow M$:
$$\alpha f(x) + \beta f(y) + .... + \gamma f(z) = f(0_L) = 0_M $$

-- равенство сохраняется именно из-за того, что оператор $L$ объявлено линейным.
Сохранение же здесь состоит в том, что все выражение осталось тем же, что и до отображения, но все элементами заменены образами из пространства, в которое происходит отображение (подобное происходит далеко не для любого отображения - см. пример).

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

  • Log in to post comments
  • 15647 reads
vedro-compota's picture

vedro-compota

Fri, 12/07/2018 - 20:13

Цитата:

...линейная алгебра возникла в рамках исследования вопроса о системах линейных уравнений.

В свою очередь, уравнения получили такое название ввиду того, что графиком функций вида y=kx является прямая линия. Слово "прямая" исчезло, и все эффекты, связанные с зависимостями такого вида (наподобие f(x+y)=f(x)+f(y) или f(kx)=kf(x)) стали называть "линейными".
Надо иметь в виду, что математические термины очень часто не отражают сути того, что они называют, а являются итогом каких-то исторических случайностей.

отсюда: http://math.hashcode.ru/questions/22745/...

Проверим цитату выше для (относительно) определения линейного оператора, а именно нас "свойство линейности" для отображения:

  1. $f(x + y) = f(x) + f(y)$ для всех $x,y \in L_k$
  2. $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ для всех $x \in L_k$ и всех $\alpha \in K$.

Возьмём линейную функцию $f(x) = 2x + 5$ (она так называется, потмоу что её график -- прямая линия).
Вычислим $f(x + y)$:
$ f(x + y) = 2x + 2y + 5$
Вычислим $ fx + fy$:
$fx + fy = 2x + 5 + 2y + 5 = 2x + 2y + 10$

Получаем:
$2x + 2y + 5 \neq 2x + 2y + 10$
выходит, что $f(x) = 2x + 5$ нелинейна в смысле указанного выше "свойства линейности", т.е. не любая линейная функция является линейным оператором.

И действительно, данная линейная функция не сохраняет результатов выражения, возьмём выражение:
$x + y = 0$
применим функцию ко всем элементам:
$2x + 5 + 2y + 5 = 0$
$2(x + y) = -10$
$x + y = -5$

-- как видим соотношение между элементами изменилось, теперь их сумма равна не нулю, а другому числу (-5), это и есть практическая демонстрация нелинейности преобразования

_____________
матфак вгу и остальная классика =)