Связь нормы и метрики -- нормированное и метрическое пространство

В нормированном пространстве $W$ над полем $K$ метрика вводится как функция:
$$ d(x, y) = \| x - y \| $$
т.е. расстояние между двумя элементами считается равным норме разности этих элементов (векторов), при этом метрика введённая в нормированном пространстве, указанным выше образом, обладает двумя дополнительными (помимо трёх стандартных) свойствами :

  • $d (x , y) = d (x + z , y + z), \; x,y,z \in W$ -- инвариантность относительно сдвига.
  • $d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda| d(x, y), \; x,y \in W, \lambda \in K$ -- положительная однородность.

Таким образом, нормированное пространство является и метрическим.