#7 Системы нумерации некоторых народов

$1$. Древнегреческая нумерация. В древнейшее время в Греции была распространена так называемая аттическая нумерация. Числа $1$, $2$, $3$, $4$ обозначались черточками |, ||, |||, ||||. Число $5$ записывалось знаком НУЖЕНСКРИНШОТ (древнее начертание буквы «пи», с которой начинается слово «пенте» - пять); числа $6$, $7$, $8$, $9$ обозначались НУЖЕНСКРИНШОТ. Число $10$ обозначалось $\Delta$ (начальной буквой слова « дека» - десять). Числа $100$, $1000$ и $10000$ обозначались Н, Х, М - начальными буквами соответствующих слов . Числа $50$, $500$, $5000$ обозначались комбинациями знаков $5$ и $10$, $5$ и $100$, $5$ и $1000$, а именно: НУЖЕНСКРИНШОТ. Остальные числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:
НУЖЕНСКРИНШОТ
В третьем веке до н. э. аттическая нумерация была вытеснена так называемой ионийской системой . В ней числа $1$ - $9$ обозначаются первыми девятью буквами алфавита {Буквы НУЖЕНСКРИН (фау), НУЖЕНСКРИН (коппа), НУЖЕНСКРИН (сампи) отсутствуют в нынешнем греческом алфавите (названия остальных букв см. стр 54.)]:
$$
\alpha=1; \ \beta=2; \ \gamma=3; \ \delta=4; \ \varepsilon=5; \ \varsigma=6; \ \zeta=7; \ \eta=8; \ \vartheta=9;
$$
числа $10$, $20$, $30$,...,$90$ - следующими девятью буквами:
$$
\iota=10, \ \kappa=20, \ \lambda=30, \ \mu=40, \ \nu=50, \ \xi=60, \ o=70, \ \pi=80, \ НС=90;
$$
числа $100$, $200$,...,$900$ - последними девятью буквами:
$$
\rho=100, \ \sigma=200, \ \tau=300, \ \upsilon=400, \ \varphi=500, \ \chi=600, \ \psi=700, \ \omega=800, \ НС=900.
$$
Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами с добавлением особого
значка ' сбоку:
$$
'\alpha=1000, \ '\beta=2000 и т. д.
$$
Для отличия цифр от букв, составлявших слова, ставили черточки над цифрами. Примеры:
$$
\overline{\iota \eta}=18; \ \overline{\mu \zeta}=47; \ \overline{\upsilon \zeta}=407; \ \overline{\chi
\ \kappa \alpha}=621; \ \overline{\chi \kappa}=620 и т. д.
$$
Такую же алфавитную нумерацию имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока. Неизвестно, у какого народа она возникла впервые.

$2$. Славянская нумерация. Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок ( «титло» ), изображенный в приводимой здесь таблице. При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядок букв славянского алфавита был несколько иной).

В России славянская нумерация сохранилась до конца $17$ века. При Петре I возобладала так называемая «арабская нумерация» (см. ниже, п. 6), которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах.

Приводим славянские цифры.
НУЖЕНСКРИНШОТ

$2$. Древнеармянская и древнегрузинская нумерация. Армяне и грузины пользовались алфавитным принципом нумерации. Но в древнеармянском и древнегрузинском алфавитах было гораздо больше букв, чем в древнегреческом. Это позволило ввести особые
обозначения для чисел $1000$, $2000$, $3000$, $4000$, $5000$, $6000$, $7000$, $8000$, $9000$. Числовые значения букв следовали порядку букв в армянском и грузинском алфавитах.

Алфавитная нумерация преобладала до $18$ века, хотя «арабская нумерация» употреблялась в отдельных случаях гораздо раньше (в грузинской литературе такие случаи восходят к $10$-$11$ векам; в памятниках армянской математической литературы они установлены пока только для 15 века). В Армении алфавитная нумерация употребляется и сейчас для обозначения глав в книгах, строф в стихотворениях и т. п. В Грузии алфавитная нумерация вышла из употребления.

$2$. Вавилонская поместная нумерация. В древнем Вавилоне примерно за $40$ веков до нашего времени появилась поместная (позиционная) нумерация, т. е. такой способ изображения чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, в зависимости от места, занимаемого этой цифрой. Наша теперешняя нумерация - тоже поместная: в числе $52$ цифра $5$ обозначает пятьдесят, т. е. $5 \cdot 10$, а в числе $576$ та же цифра обозначает пятьсот , т. е. $5 \cdot 10 \cdot 10$. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую играет у нас число $10$, играло число $60$, и поэтому эту нумерацию называют шестuдесятеричной. Числа, меньшие $60$, обозначались с помощью двух знаков: для единицы НУЖЕНСКРИНШОТ и для десятка НУЖЕНСКРИНШОТ . Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных дощечках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз , например,
НУЖЕНСКРИНШОТ
Способ обозначения чисел, больших $60$, показан на следующих примерах: запись НС обозначала $5 \cdot 60+ 2 = 302$, подобно тому как наша запись $52$ обозначает $5 \cdot 10 + 2$. Запись
НУЖЕНСКРИНШОТ
обозначала число $21 \cdot 60 + 35=1295$. Следующая запись:
НУЖЕНСКРИНШОТ
обозначала $1 \cdot 60 \cdot 60 + 2 \cdot 60 + 5 = 3725$, подобно тому, как у нас запись $125$ означает $1 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5$. При. отсутствии промежуточного разряда употреблялся
знак НС, игравший роль нуля. Так, запись
НС
обозначала $2 \cdot 60 \cdot 60 + 0\cdot 60 + 3 = 7203$. Но отсутствие низшего разряда не обозначалось; например, число $180 = 3\cdot 60$ обозначалось записью НС т. е. так же, как число $3$. Та же запись НС могла обозначать и число $10 800= 3 \cdot 60 \cdot 60$ и т. д. Различать друг от друга числа $3, \ 180, \ 10 800$ и т. д. можно было только по смыслу текста.

Запись НС могла также означать $\dfrac{3}{60}, \ \dfrac{3}{60 \cdot 60}=\dfrac{3}{3600}, \ \dfrac{3}{60 \cdot 60 \cdot 60}=\dfrac{3}{216 000}$ и т. д., подобно тому как числа $\dfrac{3}{10}, \ \dfrac{3}{10 \cdot 10}= \dfrac{3}{100}, \ \dfrac{3}{10 \cdot 10 \cdot 10}=\dfrac{3}{1000}$ и т. д. мы обозначаем в системе десятичных дробей с помощью цифры $3$. Но мы отличаем эти дроби друг от друга, проставляя нули перед цифрой $3$, и пишем $\dfrac{3}{10}=0.3; \ \dfrac{3}{100}=0.03; \ \dfrac{3}{1000}=0.003$ и т. д. В вавилонской же нумерации эти нули не обозначались.

Наряду с шестидесятиричной системой нумерации вавилоняне пользовались и десятичной системой, но она не была поместной. В ней, кроме знаков для $1$ и $10$, существовали следующие знаки:
для НС
Числа $200$, $300$ и т. д. записывались знаками
НС
и т. д. Таким же способом записывались числа $2000$, $3000$ и т. д., $20 000$, $30 000$ и т. д. Число $274$ записывалось так:
НС
число $2068$ писалось так:
НС
и т. д.

Шестидесятиричная система возникла позднее де­сятичной, ибо числа до $60$ записываются в ней по десятичному принципу. Но до сих пор неизвестно, когда и как возникла у вавилонян шестидесятеричная система. На этот счет строилось много гипотез, но ни одна из них пока не доказана.

Шестидесятиричная запись целых чисел не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства, но шестидесятиричные дроби проникли далеко за эти пределы: в страны Ближнего Востока, Средней Азии, в Северную Африку и Западную Европу. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей, т. е. до начала $ 17$ века. Следы шестидесятиричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на $60$ минут и минуты на $60$ секунд.

$5$. Римские цифры. Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под названием «римской нумерации». Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для наименования съездов и конференций, для нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д.
В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:
$$
\mathrm{I}=1,\ \mathrm{V}=5; \ \mathrm{X}=10,\ \mathrm{L}=50, \ \mathrm{C}=100, \ \mathrm{D}=500, \ \mathrm{M} = 1000.
$$
Прежде они имели несколько иную форму. Так, число $1000$ изображалось знаком НС, а $500$ - знаком НС.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти рук, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. Точно так же знак для $1000$ мог составиться из удвоения знака для $500$ (или наоборот).

В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. В языке же римлян (латинском) никаких следов пятеричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (весьма вероятно - у этрусков).

Все целые числа (до $5000$) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При
этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей [ В наименованиях двух числительных 18 и 19 латинский язык сохранил этот • Принцип вычитания• (см. #4 Десятичная система счисления) ]. Например, $\mathrm{VI} = 6$, т. е. $5 + 1$;$ \mathrm{IV} = 4$, т. е. $5 - 1$; $ \mathrm{XL}= 40$, т. е. $50 - 10$;$ \mathrm{LX}= 60$, т. е. $50 + 10$. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз:$ \mathrm{LXX} = 70$; $\mathrm{LXXX} = 80$; число $90$ записывается $\mathrm{ХС}$ (а не $\mathrm{LXXXX}$).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:
$$
\mathrm{I,\ II, \ III, \ IV, \ V, \ VI, \ VII, \ VIII, \ IX, \ X, \ XI, \ XII}.
$$
Примеры:
$$
\mathrm{XXVIII}=28; \mathrm{XXXIX}=39; \\
\mathrm{CCCXCVII}=397; \mathrm{MDCCCXVIII}=1818;
$$
Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до $13$ века, а в других странах Западной Европы - до $16$ века.

6. Индийская поместная нумерация. В различных областях Индии существовали разнообразные системы нумерации. Одна из них распространилась по всему миру и в настоящее время являете.я общепринятой. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите (алфавит «деванагари»).

Первоначально этими знаками представлялись числа $1, 2, 3,..., 9, 10, 20, 30,..., 90, 100, 1 000$; с их помощью записывались другие числа. Впоследствии был введен особый знак (жирная точка, кружок) для указания пустующего разряда: знаки для чисел, больших $9$, вышли из употребления, и нумерация «деванагари» превратилась в десятичную поместную систему. Как и когда совершился этот переход - до сих пор неизвестно. К середине $8$ века позиционная система нумерации получает в Индии широкое применение. Примерно в это врем.я она проникает в другие страны (Индокитай, Китай, Тибет, на территорию наших среднеазиатских республик, в Иран и др.). Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале $9$ века Мухаммедом из Хорезма (ныне
Хорезмская область Узбекистана [Этот замечательный ученый являетcя также основоположником алгебры (см. Ill , § 2). Свои работы Мухаммед писал на арабском языке, который был на Востоке международным научным языком, каким в Западной Европе был латинский язык. Отсюда - и арабизированное имя аль-Хваризми (или аль-Хорезми, то сеть Хорезмисц), под которым Мухаммед известен в истории]. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в $12$ веке.
В $13$ веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах Западной Европы она утверждается в 16 веке. Европейцы, заимствовавшие индийскую нумерацию от арабов, называли ее «арабской». Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Из арабского языка заимствовано и слово «цифра» (по-арабски «сыфр»), означающее буквально «пустое место» (перевод санскритского слова «сунья», имеющего тот же смысл).

Это слово первоначально употреблялось для наименования знака пустующего разряда и этот смысл сохранило еще в $18$ веке, хотя уже в $15$ веке появился латинский термин « нуль» (nullum - ничто).

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, в которой мы их пишем, установилась в $16$ веке.