#10 Порядок действий; скобки

Если несколько действий выполняются одно за другим , то результат зависит от порядка действий . Например, $4 - 2 + 1 = 3$, если производить действия в порядке их записи; если же сначала сложить $2$ и $1$ и вычесть полученную сумму из $4$, то получим $1$. Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях , когда результат зависит от порядка действий ), пользуются скобкам. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае $(4 - 2) + 1 = 3$; $4 - (2 + 1) = 1$.

Пример $1$. $( 2 + 4 ) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$; $2 + (4 \cdot 5 ) = 2 + 20 = 22$.

Чтобы чрезмерно не загромождать записи, принято не писать скобок:

$1$) в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом , должны выполняться в том порядке, в каком они записаны; например, вместо $(4 - 2) + 1 = 3 $ пишут $4 - 2 + 1 = 3$;
$2$) в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо $2 + (4 \cdot 5) = 22$ пишут $2 + 4 \cdot 5 = 22$.

При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

$1$) сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление выполняются в порядке их следования, но раньше, чем сложение и вычитание;

$2$) затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление выполняются в порядке их следования, но раньше сложения и вычитания.

Пример $2$. $2 \cdot 5 - 3 \cdot 3$.

Сначала выполняем умножения $2 \cdot 5 = 1 0 $, $3 \cdot 3 = 9$; затем вычитание: $10 - 9 = 1$.

Пример $3$.
$$
9 + 16 \colon 4 - 2 \cdot ( 16 - 2 \cdot 7 + 4 ) + 6 \cdot ( 2 + 5 ).
$$

Сначала выполняем действия в скобках:
$$
16 - 2 \cdot 7 + 4 = 16 - 14 + 4 = 6; \ 2 + 5 = 7.
$$
Теперь выполняем остающиеся действия:
$$
9 + 1 6 \colon 4 - 2 \cdot 6 + 6 \cdot 7 = 9 + 4 - 12 + 42 = 43.
$$

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения , которые сами уже содержат скобки. Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки другой формы, например квадратные [ ]. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками { } . Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности; затем - вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам; далее - вычисления внутри фигурных скобок и т. д.; наконец, выполняются остающиеся действия .

Пример $4$.
$$
5 + 2 \cdot [ 14 - 3 \cdot ( 8 - 6)] + 32 \colon ( 10 - 2 \cdot 3 ).
$$

Выполняем действия в круглых скобках; имеем:
$$
8 - 6 = 2; \ 10 - 2 \cdot 3 = 10 - 6 = 4;
$$
действия в квадратных скобках дают: $14 - 3 \cdot 2 = 8$; выполняя остающиеся действия, находим:
$$
5 + 2 \cdot 8 + 32 \colon 4 = 5 + 16 + 8 = 29.
$$

Пример $5$. ${ 100 - [ 35 - ( 30 - 20)]} \cdot 2$.

Порядок действий: $30 - 20 = 10; \ 35 - 10 = 25; \ 100 - 25 = 75; \ 75 \cdot 2 = 150 $.