#11 Признаки делимости чисел

Признаки делимости на $2$. Число, делящееся на $2$, называется четным, не делящееся - нечетным. Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях - не делится.

Примеры. Число $52 \ 738$ делится на $2$, так как последняя цифра $8$ - четная; $7691$ не делится на $2$, так как $1$ - цифра нечетная; $1250$ делится на $2$, так как последняя цифра нуль.

Признак делимости на $4$. Число делится на $4$, если две последние его цифры нули или образуют число,делящееся на $4$. В остальных случаях - не делится.

Примеры. $31 \ 700$ делится на $4$, так как оканчивается двумя нулями; $215 \ 634$ не делится на $4$, так как последние две цифры дают число $34$, не делящееся на $4$; $16 \ 608$ делится на $4$, так как две последние цифры $08$ дают число $8$, делящееся на $4 $.

Признак делимости на $8$ подобен предыдущему. Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на $8$. В остальных случаях - не делится.

Примеры. $125 \ 000$ делится на $8$ (три нуля в конце); $170 \ 004$ не делится на $8$ (три последние цифры дают число $4$, не делящееся на $8$); $111 \ 120$ делится на $8$ (три последние цифры дают число $120$ делящееся на $8$).

Можно указать подобные признаки и для деления на $16, \ 32, \ 64$ и т. д., но они не имеют практического значения.

Признаки делимости на $3$ и на $9$. На $3$ делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на $3$; на $9$ - только те, у которых сумма цифр делится на $9$.

Примеры. Число $17 \ 835$ делится на $3$ и не делится на $9$, так как сумма его цифр $1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24$ делится на $3$ и не делится на $9$. Число $106 \ 499$ не делится ни на $3$, ни на $9$, так как сумма его цифр ($29$) не делится ни на $3$, ни на $9$. Число$ 52 \ 632$ делитcя на $9$, так как сумма его цифр ($18$) делится на $9$.

Признак делимости на 6. Число делится на $6$, если оно делится одновременно на $2$ и на $3$. В противном случае - не делится.

Пример. $126$ делится на $6$, так как оно делится и на $2$ и на $3$.

Признак делимости на $5$. На $5$ делятся числа, последняя цифра которых $0$ или $5$. Другие - не делятся.

Примеры. $240$ делится на $5$ (последняя цифра $0$); $554$ не делится на $5$ (последняя цифра 4).

Признак делимости на $25$. На $25$ делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на $25$ (т. е. числа, оканчивающиеся на $00,\ 25, \ 50$ или $75$). Другие не делятся.

Примеры. $7150$ делится на $25$ (оканчивается на $50$); $4855$ не делится на $25$.

Признаки делимости на $10, \ 100$ и $1 000$. На $10$ делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на $100$ - только те числа, у которых две последние цифры нули, на $1 000$ - только те, у которых три последние цифры нули.

Примеры. $8 200$ делится на $10$ и на $100$; $542 \ 000$ делится на $10$, $100$, $1 000$.

Признак делимости на $11$. На $11$ делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на $11$.

Примеры. Число $103 \ 785$ делитеcя на $11$, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, $1 + 3 + 8 = 12$ равна сумме цифр, занимающих четные места $0+ 7 + 5 = 12$. Число $9 \ 163 627$ делитеcя на $11$, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть $9 + 6 + 6 + 7 = 28$, а сумма цифр, занимающих четные места, есть $1 + 3 + 2 = 6$; разность между числами $28$ и $6$ есть $22$, а это число делитеcя на $11$. Число $461 \ 025$ не делится на $11$, так как числа $4 + 1 + 2 = 7$ и $6 + 0 + 5 = 11$ не равны друг другу, а их разность $11 - 7 = 4$ не делится на $11$.

Существуют признаки делимости и на другие числа (сверх вышеперечисленных); но эти признаки сложнее.