#13 Разложение на простые множители

Всякое составное число можно единственным способом представить в виде произведения простых множителей. Например, $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 22 \cdot 32 $; $45 = 3 \cdot 3 \times 5 = 32 \cdot 5 $ (или $ 32 \cdot 51 $); $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 3 \cdot 52 $ (или $ 21 \cdot 31 \cdot 52$). Для небольших чисел легко догадаться, каким будет разложение. Для больших чисел можно пользоваться следующим приемом.

Пример $1$. Пусть дано число $1421$. Берем подряд простые числа таблицы из параграфа $12$ и останавливаемся на том, которое являетеся делителем данного числа. На основании признаков делимости видим, что числа $ 2$, $3$, $5$ не могут быть делителями числа $1421$; попытавшись разделить на $7$, видим, что $1421$ делителя на $7$ и дает в частном $203$. Слева от черты записываем число $1421$; справа против него - делитель; под числом - частное $203$.

Таким же образом проверяем число $203$. Чисел $2$, $3$, $5$, оказавшихся негодными при первой пробе, мы не трогаем и начинаем проверку с числа $7$. Оказываетеcя, что $7$ есть делитель числа $203$. Записываем его справа от черты против $203$. Снизу под $203$ пишем частное $29$. Число $29$ - простое , поэтому разложение закончено.
$$
3апись: \\
1 4 2 1 | \ 7 \\
203 | \ 7 \\
29 | \ 29
$$
Его результат:
$$
1421 = 7 \cdot 7 \cdot 29 = 7^2 \cdot 29
$$

Этот общий способ можно в ряде случаев упрощать.

Пример $2$. Разложим на простые множители число $1 \ 237 \ 600$. Заметив, что $1 \ 237 \ 600 = 12 \ 376 \times 100 $, разложим по отдельности два сомножителя. Второй разлагается сразу: $100 = 1 0 \cdot 1 0 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 22 \cdot 52 $. Первый разлагаем следующим образом.

Берем из таблицы из параграфа $12$ первое простое число $2$; что оно есть делитель числа $12 \ 3 76 $, видно по признаку делимости. Найдя частное $6 188$, снова берем из таблицы из параграфа $ 12$ число $2$. Второе частное $3094$ также четно; делим его опять на $2$. Результат $1 5 4 7$ уже не делится на $2$. Признаки делимости покажут, что оно не делится ни на $3$, ни на $5$. Пробуем делить $1 54 7$ на $7$; получаем частное $2 2 1$. Пробуем еще раз разделить на $7$. Не делится. Тогда проверяем следующие простые числа. На $1 1$ число $221$ не делится, но на $13$ делится, в частном - простое число $17 $. Результат:
$$
1 \ 2 3 7 \ 600 = 23 \cdot 7 \cdot 1 3 \cdot 1 7 \cdot 2 2 \cdot 5 2 = 2 5 \cdot 52 \cdot 7 \cdot 1 3 \cdot 1 7.
$$

$$
12 \ 376 | \ 2 \\
6188 | \ 2 \\
3094 | \ 2 \\
1574 | \ 23 \\
221 | \ 13 \\
17 | \ 17
$$