#17 Сокращение и расширение дроби

Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число.
Например,
$$
\frac{3}{5}=\frac{3 \cdot 6}{ 5 \cdot 6}= \frac{18}{30}; \ \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 3 }{2 \cdot 3}= \frac{3}{6}; \ \frac{1}{2}=\frac{1 \cdot 4}{ 2 \cdot 4}= \frac{4}{8}.
$$

Такое преобразование дроби мы назовем «расшире­нием» дроби. Будем говорить, что дробь $\dfrac{18}{30}$ получена «расширением на $6$» из дроби $\dfrac{3}{5}$.

Величина дроби не изменитеcя, если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число. Например, $ \dfrac{18}{30} = \dfrac{18 : 6}{30:6} = \dfrac{3}{5} $ $ \dfrac{4}{8}= \dfrac{4 : 4} {8:4} = \dfrac{1}{2} $. Такое преобразование дроби называетеcя сокращением дроби. Говорят, что дробь $\dfrac{3}{5} $ получена «сокращением на 6» из дроби $\dfrac{18}{30}$.

Дробь можно сократить лишь в том случае, если числитель и знаменатель имеют одинаковые делители (т. е. если они не взаимно простые). Сокращение мож­но производить или постепенно или сразу на НОД

Пример. Сократить дробь $\dfrac{108}{144} $. Применяя при­знак делимости на $4$ (см. признаки делимости), видим, что $4$ есть общий делитель числителя и знаменателя. Сокращая на $4$, имеем: $ \dfrac{108}{144}= \dfrac{108 : 4}{144:4}= \dfrac{27}{36} $. Замечая, что $27$ и $36$ имеют общий делитель $9$, сокращаем $\dfrac{27}{36} $ на $9$; имеем: $\dfrac{27}{36} = \dfrac{3}{4}$. Дальнейшее сокращение невозможно ($3$ и $4$ - взаимно простые числа).

Тот же результат мы получим, если найдем НОД чисел $108$ и $144$. Он равен $36$. Сократив на $36$, получим:
$$
\frac{108}{144}=\frac{108 : 36}{144:36}= \frac{3}{4}
$$
После сокращения на НОД получаетеcя несократи­мая дробь .