#20 Умножение дробей. Определение

Для умножения и деления дроби на целое число можно сохранить данные выше определения (#9, пп. 3 и 4). Например,
$$
2 \dfrac{3}{4} \cdot 3 = 2 \dfrac{3}{4} + 2 \dfrac{3}{4} + 2 \dfrac{2}{4} = 8 \dfrac{1}{4}.
$$
Обратно, $8 \dfrac{1}{4} : 3 = 2 \dfrac{3}{4}$. Практические правила вычисления см. ниже.

Для умножения на дробное число определение #9 сохранить нельзя. Например, действие $2 \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}$ нельзя выполнить, если его понимать так, что $2 \dfrac{1}{2}$ требуется взять слагаемым $\dfrac{3}{4}$ раза.

Умножить некоторое число (целое или дробное) на дробь - значит разделить это число на знаменатель дроби и результат умножить на числитель.

Пример. $800 \cdot \dfrac{3}{4} $; $800 : 4 = 200$; $200 \cdot 3 = 600 $, так что $800 \cdot \dfrac{3}{4} = 600$. Порядок действий (деления и умножения) можно изменить; результат будет тот же: $800 \cdot 3 = 2400$, $2400 : 4 = 600$.

Приведенное определение вытекает из необходимости полностью сохранить за действием умножения ту роль, которую оно играло в практике и в теории, пока мы имели дело с целыми числами. Убедимся в этом на двух примерах.

Пример. Литр керосина имеет массу $800$ г. Найти массу $4$ л.

Решение. $800 \cdot 4 = 3200$ (г) = $3$ кг $200$ г. Результат найден умножением на $4$.

Найти массу $\dfrac{3}{4}$ л керосина.

Решение. $800 \cdot \dfrac{3}{4} = 600$ (г) (см. предыдущий пример).

Если мы умножению на дробь дадим определение, отличающееся от вышеприведенного, мы получим неправильный ответ. Если бы мы, исходя из определения из #9, признали умножение на $\dfrac{3}{4}$ невозможным, нам пришлось бы решать задачу о массе керосина разными действиями: при целом числе литров умножением, а при дробном числе другим действием. [Возникает вопрос, нельзя ли было дать сразу такое определение, которое подходило бы и для умножения на целое число, и для умножения на дробь? Оказывается, что нельзя: при определении умножения дроби неизбежно приходится предполагать заранее известным умножение на целое число (см. определение этого параграфа)]

При перемножении целых чисел произведение не меняетеcя от перестановки сомножителей: $3 \cdot 4 = 4 \cdot 3 = 12$. Это свойство сохраняетcя и при умножении на дробь. Например, $\dfrac{2}{3} \cdot 3 = \dfrac{2}{3}+ \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = 2$; этот результат получен на основе прежнего определения (см. #9).
Переставим сомножители: $3 \cdot \dfrac{2}{3} $; прежнее определение умножения теперь не подходит, но новое дает $ 3 \cdot \dfrac{2}{3} = 2$.

Вообще оказывается, что при новом определении умножения остаются в силе все прежние свойства и правила, за исключением одного: при прежнем определении умножения число увеличивалось, отсюда и название « умножение » (от слова « много»). Теперь же мы должны сказать: от умножения на число, большее единицы, множимое увеличивается; от умножения на число, меньшее единицы (т. е. на правильную дробь), оно уменьшается. Несоответствие последнего факта с названием действия объясняется тем, что название «умножение » восходит к тем отдаленным временам, когда понятие умножения относили только к целым числам.

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):