§2 Исторические сведения о развитии алгебры

Вавилон. Истоки алгебры восходят к глубокой древности. Уже около 4000 лет назад вавилонские учёные владели решением квадратного уравнения (§29) и решали системы двух уравнений, из которых одно – второй степени (§33). С помощью таких уравнений решались разнообразные задачи землемерия, строительного искусства и военного дела.
Буквенные обозначения, применяемые нами в алгебре, не употреблялись вавилонянами; уравнения записывались в словесной форме.

Греция. Первые сокращённые обозначения для неизвестных величин встречаются у древнегреческого математика Диофанта (2–3 в. н. э.) Неизвестное Диофант именует «аритмос» (число), вторую степень неизвестного – «дюнамис» (это слово имеет много значений: сила, могущество, имущество, степень и др. ¹)). Третью степень Диофант называет «кюбос» (куб), четвёртую – «дюгамомюнамис», пятую – «дюнамокюбос». Эти величины он обозначает первыми буквами соответствующих наименований (ар, дю, кю, ддю,дкю, ккю). Известные числа для отличия от неизвестных сопровождаются обозначением «мо» (монас – единица). Сложение не обозначается совсем, для вычитания имеется сокращённое обозначение, равенство обозначается «ис» (исос – равный).

Ни вавилоняне, ни греки не рассматривали отрицательных чисел.
Уравнение 3 ар 6 мо ис 2 ар 1 мо ($3x + 6 = 2x + 1$) Диофант называет «неуместным». Перенося члены из одной части уравнения в другую, Диофант говорит, что слагаемое становится вычитаемым, а вычитаемое – слагаемым.

Китай. За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Им были знакомы отрицательные и иррациональные числа. Так как в китайском письме каждый знак изображает некоторое понятие, то в китайской алгебре не могло быть «сокращённых» обозначений.

В последующие эпохи китайская математика обогатилась новыми достижениями. Так, в конце 13 века китайцы знали закон образования биноминальных коэффициентов, известных ныне под именем «треугольник Паскаля» (см. §72). В Западной Европе этот закон был открыт (Штифелем) на 250 лет позднее.

Индия. Индийские авторы широко употребляли иррациональные ²) и отрицательные числа. Вместе с отрицательными числами в числовую семью вошёл нуль, который прежде обозначал лишь отсутствие числа.

Страны арабского языка, Узбекистан. Таджикистан. У индийских авторов алгебраические вопросы излагались в астрономических сочинениях; самостоятельной дисциплиной алгебра становится у учёных, писавших на международном языке мусульманского мира – арабском. Основоположником алгебры, как особой науки, нужно считать среднеазиатского учёного Мухаммеда из Хорезма, известного под арабским прозвищем аль-Хваризми (Хорезмиец). Его алгебраический труд, составленный в 9 в. н.э., носит название «Книга восстановления и противопоставления». «Восстановлением» Мухаммед называет перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; «противопоставлением» – собирание неизвестных в одну сторону а известных – в другую сторону. По-арабски «восстановление» называется «ал-джебр». Отсюда название «алгебра».

У Мухаммеда Хорезмского и у последующих авторов алгебра широко применяется к купеческим и иным денежным расчётам. Ни он, ни другие математики, писавшие по-арабски, не употребляли никаких сокращённых обозначений ³). Они не признавали и отрицательных чисел; учение об отрицательных числах, знакомое им из индийских источников, они считали плохо обоснованным. Это было справедливо, но зато индийские учёные могли ограничиться одним случаем полного квадратного уравнения, тогда как Мухаммед Хорезмский и его преемники должны были различать три случая $x^2 + px = q, \qquad x^2 + q = px, \qquad x^2 = px + q:\qquad p \text{ и } q – \text{положительные числа}$.

Узбекские, таджикские, персидские и арабские математики обогатили алгебру рядом новых достижений. Для уравнений высших степеней они умели находить приближённые значения корней с очень большой точностью. Так, знаменитый среднеазиатский философ, астроном и математик аль-Бируни (973 – 1048), родом тоже из Хорезма, свёл задачу о вычислении стороны правильного 9-угольника, вписанного в данную окружность, к кубическому уравнению $x^3 = 1 + 3x$ и нашёл (в 60-ричных дробях) приближённое значение $x = 1,52'45''47'''13'''' $ ⁴) (с точностью до $\dfrac{1}{60^4};$ в десятичных дробях это даёт семь верных десятичных знаков).

Классик иранской и таджикской поэзии, выдающийся учёный Омар аль-Хайам (1036 – 1123) из Нишапура подверг систематическому изучению уравнения третьей степени. Ни ему, ни другим математикам мусульманского мира не удалось найти выражения корней кубического уравнения через коэффициенты. Но аль-Хайам разработал способ, по которому можно (геометрически) найти число действительных корней кубического уравнения ( его самого интересовали только положительные корни).

Средневековая Европа. В 12 веке «Алгебра» аль-Хваризми стала известна в Европе и была переведена на латинский язык. С этого времени начинается развитие алгебры в европейских странах (сперва под сильным влиянием науки восточных народов). Появляются сокращённые обозначения неизвестных, решается ряд новых задач, связанных с потребностями торговли. Но существенного сдвига не было до 16 века. В первой трети 16 века итальянцы дель-Феро и Тарталья нашли правила для решения кубических уравнений вида $x^3 = px + q;\qquad x^3 + px = q; \qquad x^3 + q = px$, а Кардано в 1545 г. показал, что всякое кубическое уравнение сводится к одному из этих трёх; в это же время Ферарри, ученик Кардано, нашёл решение уравнения 4-й степени.

Сложность правил для решения этих уравнений сделала необходимым усовершенствование обозначений. Это совершалось постепенно в течение целого столетия. В конце 16 века французский математик Виета ввёл буквенные обозначения, и притом не только неизвестных, но и для известных величин (неизвестные обозначались заглавными гласными буквами, а известные – заглавными согласными). Были введены сокращённые обозначения действий; у разных авторов они имели разный вид. В середине 17 века алгебраическая символика благодаря французскому учёному Декарту (1596 – 1650) приобретает вид, очень близкий к нынешней.

Отрицательные числа. В 13-16 веках отрицательные числа рассматриваются европейцами лишь в исключительных случаях. После открытия решения кубического уравнения отрицательные числа постепенно завоёвывают право гражданства в алгебре. хотя их и называют «ложными». В 1629 г. Жирар (Франция) дал общеизвестный ныне способ геометрического изображения отрицательных чисел. Лет двадцать спустя отрицательные числа получили всеобщее распространение.

Комплексные числа. Введение комплексных чисел (§28 и §34) также было связано с открытием решения кубического уравнения.

И до этого открытия при решении квадратного уравнения $x^2 + q = px$ приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из $p^2 - q$, где величина $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2$ была меньше чем $q$. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные считались «ложными») не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.

Объясним, это подробнее. По правилу Тартальи корень уравнения:

$$x^3 = px + q \qquad (1)$$

представляется выражением

$$ x = \sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}, \qquad (2) $$

где $u$ и $v$ – решения системы

$$u + v = q uv = \left(\dfrac{p}{3}\right)^3 \qquad (3)$$

Например для уравнения $x^3 = 9x + 28 \qquad (p = 9; q = 28)$ имеем:
$$u + v = 28; \qquad uv = 27,$$
откуда находим, что либо $u = 27;\qquad v = 1, $ либо $u = 1; \qquad v = 27$. В обоих случаях
$$x = \sqrt[3]{27} +\sqrt[3]{1} = 4.$$
Но, как заметил уже Кардано, система (3) может не иметь действительных решений, между тем, как уравнение (1) имеет действительный и притом положительный корень. Так, уравнение $x^3 = 15x + 4$ имеет корень $x = 4$, но система
$$u + v = 4; \qquad uv = 125$$
имеет комплексные корни: $u = 2 + 11i, \qquad v = 2 - 11i$ (или $u = 2 - 11i, \qquad v = 2 + 11i)$.
На это загадочное явление впервые пролил свет Бомбелли в 1572 г. Он указал, что $2 + 11i$ есть куб числа $2 + i$, а $2 - 11i$ – куб числа $2 - i$; значит можно написать $\sqrt[3]{2 + 11i} = 2 + i; \qquad \sqrt[3]{2 - 11i} = 2 - i$, и тогда формула (2) даёт $x = (2 + i) + (2 - i) = 4.$

С этого момента нельзя было игнорировать комплексные числа. Но теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине 18 века русский академик Эйлер – один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) ⁵) геометрическое изображение комплексных чисел (§40). Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.

Вслед за тем, как были решены уравнения 3-й и 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже 18 и 19 веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени $x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины $a, b, c, d, e$ с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня) ⁶)

В 1830 г. Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически.
Тем не менее всякое уравнение $n-$й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) $n$ корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены ещё в 17 веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже 18 и 19 веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Вопросы, которыми занимались алгебраисты 19 и 20 веков, по большей части выходят за пределы элементарной математики. Поэтому укажем только, что в 19 веке были разработаны многие методы приближённого решения уравнений. В этом направлении важные результаты были получены великим русским математиком Н.И. Лобачевским.

¹) На арабский язык термин «дюнамис» был переведён словом «маль» обозначающим «имущество». Западноевропейские математики в 12 веке перевели термин «маль» на латинский язык равнозначным словом census. Термин «квадрат» вошёл в употребление лишь в 16 веке.

²) Греческие математики умели находить приближённые значения корней, но в алгебре старались избегать иррациональностей.

³) В них не было и нужды, ибо арабское письмо очень кратко: гласные не обозначаются, согласные и полугласные буквы просты по начертанию и сливаются по несколько в один знак. Для написания многих слов требуется не больше времени, чем для написания некоторых наших букв (например, ж, щ). Зато арабская грамота много труднее нашей.

⁴) Т.е. одна целая, 52 шестидесятых, 45 три тысячи шестисотых и т.д.

⁵) Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 г.

⁶) В доказательстве Руффини были некоторые недочёты. В 1824 г. Абель (Норвегия) дал безупречное доказательство.