§3 Отрицательные числа. История появления, для чего нужны

На самых ранних стадиях развития люди знали только натуральные числа (§2). Но этими числами нельзя обойтись даже в самых простых случаях жизни. Действительно, одно натуральное число невозможно в общем случае разделить на другое, если пользоваться только натуральными числами. Между тем, в жизни нужно бывает делить, скажем 3 на 4, 5 на 12 и так далее. Без введения дробных чисел есть невозможное действие; введение дробей делает это возможным.

Но действие вычитания и после введения дробей остаётся не всегда возможным: нельзя вычесть большее число из меньшего, например 5 из 3. Однако в повседневной жизни и не представляется необходимым производить подобное вычитание и потому очень долгое время оно считалось не только невозможным, но и совершенно бессмысленным.

Развитие алгебры показало, что такое действие необходимо ввести в математику ( см. §4), и оно было узаконено индийскими учёными примерно в 7 в. н.э., а китайскими ещё раньше. Индийские учёные, стараясь найти в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчётов. Если купец имеет 5000 руб. и закупает товара на 3000 руб., у него остаётся $5000 - 3000 = 2000 $ руб. Если же он имеет 3000 руб., а закупает на 5000 руб., то он остаётся в долгу на 2000 руб. В соответствии с этим считали, здесь происходит вычитание $3000 - 5000$, результатом же является число $\dot{2000}$ (2000 с точкой наверху), означающее «две тысячи долга».

Толкование это носило искусственный характер, купец не находил сумму долга вычитанием $3000 - 5000$, а всегда выполнял вычитание $5000 - 3000$. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления (о правилах действий см. §5). Всё же толкование это долго проводилось в учебниках и в некоторых книгах приводится и поныне.

«Невозможность» вычитания большего числа из меньшего обусловливается тем, что натуральный ряд чисел бесконечен только в одну сторону. Если последовательно вычитать 1, начиная, скажем, из числа 7, мы получим числа
$$6, 5, 4, 3, 2, 1,$$
дальнейшее вычитание даёт уже «отсутствие числа», а дальше не из чего уже вычитать. Если же мы хотим сделать вычитание всегда возможным, мы должны:

1. «отсутствие числа» считать также числом (нуль);
2. от этого последнего числа считать возможным отнять ещё единицу и т.д.

Так мы получаем новые числа, обозначаемые в настоящее время так:
$$-1, -2, -3~ \text{и~т.д.} $$
Эти числа называются целыми отрицательными числами. Стоящий впереди знак «минус» напоминает о происхождении отрицательного числа из последовательного вычитания единицы. Знак этот называется «знаком количества» в отличие от знака вычитания, имеющего ту же форму; последний называется «знаком действия».

Введение целых отрицательных чисел влечёт за собой введение и дробных отрицательных чисел Если мы принимаем, что $0 - 5 = -5$, то должны принять также, что $0 - \dfrac{12}{7} = -\dfrac{12}{7}$. Число $-\dfrac{12}{7}$есть дробное отрицательное число.

В противоположность отрицательным числам (целым и дробным) те числа (целые и дробные), которые рассматриваются в арифметике, называются $положительными$. Чтобы ещё более оттенить эту противоположность, положительные числа снабжаются знаком «плюс», который в этом случае есть знак количества (а не знак действия). Например, число $2 $ записывают $+2 $ ¹).

Отрицательные и положительные числа, взятые вместе, в школьных руководствах именуют относительными числами. В принятой научной терминологии эти числа вместе с числом нуль называют рациональными. Смысл этого названия выясняется выясняется при введении понятия иррационального числа (см. §27). Подобно тому как до введения отрицательного нет никаких положительных число и число $\dfrac{3}{4} $ есть просто дробное число, а не положительное дробное число, так и до введения иррационального числа числа $+5, -5, -\dfrac{3}{4}, +\dfrac{3}{4} $ и т.д. просто суть положительные и отрицательные целые и дробные числа, а не рациональные числа.

¹) Одинаковость вида знаков количества ($+ $ и $-$) и знаков действий имеет ряд преимуществ для вычислительных целей, но на первых порах причиняет учащимся ряд трудностей. Поэтому в начальном преподавании полезно различать знак действия от знака количества, например писать отрицательную двойку не в виде $-2$, а в виде $\overline 2$, как это и делается всегда в логарифмических вычислениях (см. §63 и след.)