§7 Умножение сумм и многочленов

Произведение суммы двух или нескольких выражений на какое-либо выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на взятое выражение:
$$(a + b + c)x = ax + bx +cx \qquad \text{(открытие скобок)} $$
Вместо букв $a, b, c$ могут быть взяты любые выражения, в частности любые одночлены. Вместо буквы $x$ можно также взять любое выражение; если это выражение само представляет сумму накоторых слагаемых, например $m + n$, то имеем:
$$(a + b + c)(m + n) = a(m +n) + b(m +n) +c(m +n) = am + an + bn + cm + cn.$$
т.е. произведение суммы на сумму равно сумме всех возможных произведений каждого члена одной суммы на каждый член другой суммы.

В частности, это правило относится к произведению многочлена на многочлен:
$$(3x^2 - 2x + 5)(4x +2) = 12x^3 - 8x^2 + 20x + 6x^3 - 4x + 10 = 12x^3 - 2x^2 + 16x + 10.$$
Запись умножения:
$$
\begin{array}{l}
3x^2 - 2x + 5\\
\qquad ~~ 4x +2 \\ \hline
12x^3 - 8x^2 + 20x\\
\qquad \quad ~ 6x^2 - 4x +10\\ \hline
12x^3 - 2x^2 + 16x +10
\end{array}
$$