§8 Формулы сокращённого умножения многочленов

Следующие частные случаи умножения многочленов часто встречаются, и потому их полезно помнить. Особенно
важно научиться применять нижеприведённые формулы тогда, когда буквы $а, Ь$, входящие в них, заменяются более сложными выражениями (например, одночленами).

$1.$ $\mathbf{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$. Квадрат суммы двух величии равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

$\qquad$ Пример 1. $104^2 = (100 + 4)^2 = 10\,000 + 800 + 16 = 10\,816. $
$\qquad$Пример 2. $(2ma^2 + 0.1nb^2)^2 = 4m^2a^4 + 0,4mna^2b^2 + 0,01n^2b^4.$
Предостережение: $(а + b)^2$ не равно $a^2 + b^2.$

$2.$ $\mathbf{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$. Квадрат разности двух величии равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. Эту формулу можно рассматривать как частный случай предыдущей $\Big[$вместо $b$ берётся $(-b)\Big]$.

$\qquad$ Пример 1. $98^2 = (100 - 2)^2 = 10\,000 - 400 + 4 = 9604. $
$\qquad$ Пример 2. $(5x^3 - 2y^3)^2 = 25x^6 - 20x^3y^3 + 4y^6.$

Предостережение: $(а - b)^2$ не равно $а^2 - b^2$ [см. формулу 3].

$3.$ $\mathbf{(a + b)(a - b) = a^2 - b^2}$ Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

Пример 1. $71\cdot 69 = (70 + 1)(70 - 1) = 70^2-1 = 4899. $
Пример 2. $(0,2a^2b + c^3)(0,2a^2b - c^3) = 0,04a^4b^2 - c^6.$

$4.$ $\mathbf{(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}.$ Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

Пример 1. $12^3 = (10 + 2)^2 = 10^3 + 3\cdot 10^2\cdot 2 + 3\cdot 10\cdot2^2 + 2^3 = 1728. $
Пример 2. $(5ab^2 + 2a^3)^3 = 125a^3b^6 + 150a^5b^4 + 60a^7b^2 + 8a^9.$

Предостережение: $(a + b)^3$ не равно $a^3 + b^3$ [см. формулу 6].

$5.$ $\mathbf{(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3}.$ Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

Пример. $99^3 = (100 - 1)^3 = 1\,000\,000 - 3\cdot 10\,000 \cdot 1 + 3 \cdot 100 \cdot 1 - 1 = 970\,299. $

Предостережение: $(a - b)^3$ не равно $a^3 - b^3$ [см. формулу 7].

$6.$ $\mathbf{(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3}$. Произведение суммы двух величин на «неполный квадрат разности» равно сумме их кубов.

$7.$ $\mathbf{(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3}$. Произведение разности двух величин па «неполный квадрат суммы» равно разности их кубов.