§10 Деление многочлена на двучлен первой степени

Если многочлен, содержащий букву $x$, делить на двучлен первой степени $x - l$, де $l$ – то в остатке может получиться только многочлен нулевой степени (§9), т.е. некоторое число $N$. Число $N$ можно отыскать, не находя частного. Именно, это число равно тому значения делимого, которое последнее получает при $x = l$.

Пример 1. Найти остаток от деления многочлена $x^3 - 3x^2 + 5x -1$ на $x - 2$. Подставляя $x = 2$ в данный многочлен, находим $N = 2^3 -3\cdot 2^2 + 5\cdot2 - 1 = 5$.

Действительно, выполнив деление, найдём частное $M = x^2 - x + 3$ и остаток $N = 5$.

Пример 2. Найти остаток от деления многочлена $x^4 + 7$ на $x + 2$. Здесь $l = -2$. Подставляя $x = -2$ в $x^4 + 7$, находим $N = (-2)^4 + 7 = 23.$

Указанное свойство остатка называют теоремой Безу по имени открывшего его французского математика (1730 - 1783). Теорема Безу формулируется так: многочлен
$$a_0x^m + a_1x^{m-1} + a_2x^{m-2} + \dots + a_m$$
при делении на $x - 1$ даёт остаток
$$N = a_0l^m + a_1l^{m-1} + a_2l^{m-2} +\dots + a_m.$$

Доказательство. По определению деления (§9) имеем:
$$a_0x^m + a_1x^{m-1} + a_2x^{m-2} + \dots + a_m = (x - 1)Q + N,$$
где $Q$ – какой-то многочлен, а $N$ – некоторое число. Подставим сюда $x = l;$ член (x - l)Q$ пропадёт, и мы получим:
$$a_0x^m + a_1x^{m-1} + a_2x^{m-2} + \dots + a_m = N.$$
Замечание. Может оказаться, что $N = 0.$ Тогда $l$ есть корень уравнения:

$$a_0x^m + a_1x^{m-1} + a_2x^{m-2} + \dots + a_m = 0 \qquad \qquad (1)$$.

Пример. Многочлен $x^3 + 5x^2 -18$ делится на $x + 3$ без остатка (в частном получается $x^2 + 2x - 6$). Следовательно, $-3$ есть корень уравнения $x^3 + 5x^2 - 18 = 0.$ Действительно, $(-3)^3 + 5(-3)^2 - 18 = 0.$
Обратно, если $l$ есть корень уравнения (1), то левая часть этого уравнения делится на $x - l$ без остатка. Действительно,
$$\dfrac{x^3 - 3x - 2}{x - 2} = x^2 + 2x + 1$$