§12 Разложение многочленов на множители

Многочлен можно иногда представить в виде произведения двух или нескольких многочленов. Это возможно далеко не всегда, и в тех случаях, когда это возможно, найти требуемое разложение часто очень трудно. Практическое значение такого разложения состоит прежде всего в том, что оно часто позволяет упростить вид выражения (например, в том случае, когда в числителе и знаменателе дроби можно выделить одинаковые множители; примеры см. в следующем параграфе). Ниже перечислены простейшие случаи, когда разложение на множители выполняется.

  1. Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки» (см. §6 сложение одночленов).
    Пример 1. $7a^2xy - 14a^5x^3 = 7a^2x(y - 2a^3x^2).$
    Пример 2. $6x^2y^3 - 2uxy^2 + 4u^2xy = 2xy(3xy^2 - uy + 2u^2).$
  2. Иногда оказывается возможным, разбив члены на несколько групп, вынести в каждой некоторый множитель за скобки, после чего внутри всех скобок окажется одно и то же выражение. Тогда это выражение в свою очередь вынесется за скобки, и многочлен будет разложен на множители.
    Пример 1. $ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y).$
    Пример 2. $10a^3 - 6b^3 + 4ab^2 - 15a^2b = 5a^2(2a - 3b) + 2b^2(2a - 3b) = (2a - 3b)(5a^2 + 2b^2).$
    Замечание. Полезно иметь в виду, что выражение $(a - b)$ можно всегда представить в виде $-(b - a)$, так что на первый взгляд различные множители можно легко сделать одинаковыми.
    Пример 3. $6ax - 2bx + 9by - 27ay = 2x(3a - b) + 9y(b -3a) = \\
    = 2x(3a - b) -9y(3a -b) = (3a - b)(2x - 9y).$
  3. Преобразование, объяснённое в п. 2, иногда удаётся осуществить после предварительного введения новых (взаимно уничтожающихся) членов или разложения одного из членов на два слагаемых.
    Пример 1. $a^2 - x^2 = a^2 + ax - ax - x^2 = a(a +x) - x(a +x) = (a +x)(a - x)$
    (ср. формулу 3 §8).
    Пример 2. $p^2 + pq - 2q^2 = p^2 + 2pq - pq -2q^2 = \\ = p(p +q) - q(p +2q) = (p + 2q)(p -q).$
  4. От применения последнего приема иногда можно избавить себя, пользуясь несколькими готовыми формулами разложения, получаемыми обращением формул сокращённого умножения (§8), именно:
    \begin{equation*}
    \begin{aligned}
    &a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2;\\
    &a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2;\\
    &a^2 - b^2 = (a +b)(a -b)\\
    &\text{и т.д.}
    \end{aligned}
    \end{equation*}
    Пример $4x^2 + 20xy + 25y^2$ Применяя первую из приведённых формул $(a = 2x; b = 5y),$ получаем:
    $$4x^2 + 20xy + 25y^2 = (2x + 5y)^2.$$
    Удачное выполнение разложения многочлена на возможно большее число множителей зависит от умения комбинировать вышеперечисленные приёмы.
    Пример $12 + x^3 - 4x - 3x^2 = 12 - 3x^2 + x^3 - 4x =\\= 3(4 - x^2) - x(4 - x^2) = (4 - x^2)(3 - x) = (2 + x)(2 - x)(3 - x).$