#32 Проценты

Процентом (от латинского pro cento — с сотни) называется сотая часть. Запись $1\%$ означает $0,01; \quad$ $27\% = 0,27;\quad 100\% = 1;\quad 150\% = 1,5$ и т.д. ¹).

$1\%$ от зарплаты означает $0,01$ зарплаты; выполнить весь план — значит выполнить $100\%$ плана; Выполнение $150\%$ плана означает выполнение $1,5$ плана и т.д.

Чтобы найти процентное выражение данного числа, нужно умножить это число на $100$ (или, что то же, перенести в нём запятую через два знака вправо).

Примеры.
$\quad 13,5\% = 0,135; \quad 2,3\% = 0,023; \quad 145\% = 1,45; \quad \dfrac{2}{5}\% = 0,4\% = 0,004.$

Три основные задачи на проценты таковы:
Задача 1. Найти указанный процент данного числа (ср. #24, правило 1). Данное число умножается на число процентов, результат делится на $100$ (или, что то же запятая переносится через два знака влево) ²)

Пример По плану суточная добыча шахты должна равняться $2860$ тоннам угля. Шахта приняла обязательство выполнять $115\%$ плана. Сколько тонн угля должна дать шахта в сутки?
Решение
1) $2860 \cdot 115 = 328\,900. \quad$ 2) $328\,900 : 100 = 3289\,$т ²).

Задача 2. Найти число о данной величине указанного его процента (ср. #24, правило 2)
Данная величина делится на число процентов; результат умножается на $100$ (т.е. запятая переносится через два знака вправо) ⁴)

Пример Вес сахарного печка составляет $12,5\%$ от веса переработанной свекловицы. Сколько свекловицы требуется для изготовления 3000 ц сахарного песка?
Решение
1) $3000 : 12,5 = 240. \quad$ 2) $240\cdot 100 = 2400\,$(ц) ⁵)

Задача 3. Найти выражение одного числа в процентах другого (ср. #23, правило 3). Умножаем первое число на 100; результат делим на второе число.

Пример 1. Метод скоростного обжига кирпича, предложенный мастером П.А. Дувановым, позволил ему увеличить выпуск кирпича с одного кубического метра печи с 1200 до 2300 штук. На сколько процентов увеличилось при этом производство кирпича?
Решение
1) $2300 - 1200 = 1100,$
2) $1100 \cdot 100 = 110\,000,$
3) $110\,000 : 1200 \approx 91,67.$

Производство кирпича увеличилось на $91,67\%$

Пример 2. По семилетнему плану добыча нефти в СССР должна была составить в 1961 году 161 млн. т. Фактическая же добыча составила 166 млн. т. На сколько процентов был выполнен план 1961 г. по добыче нефти?
Решение
1) $166 \cdot 100 = 166\,000;$
2) $166\,000 : 161 \approx 103,1.$

Фактическое количество добытой нефти в 1961 году составляет $103,1\%$ к запланированному количеству.
Замечание 1. Во всех трёх задачах можно менять порядок действий, например, в последней задаче сначала выполнить деление, а затем результат помножить на 100.

Замечание 2. Нижеприведённый пример предостережёт читателя от следующей часто делаемой ошибки.

Пусть требуется узнать, сколько стоил метр ткани до снижения цен, если после понижения продажной цены на 15% эта ткань продаётся по 12 руб. за метр.
Иногда находят 15% от 12 руб., т.е. умножают $12 \cdot 0,15 = 1,8$. Затем складывают $12 + 1,8 = 13,8$ и считают, что старая цена была $13,8 $ руб. за метр. Это неверно, так как процент снижения устанавливается по отношению к прежним ценам, а $1,8$ руб. составляет от $13,8$ руб. не $15\%$, а около $13\%$ (см. Задачу 3).
Правильное решение таково: после снижения цен стоимость ткани составила $100\% - 15\% = 85\%$ от прежней цены. Поэтому прежняя цена (см. Задачу 2) составляла $12: 0,85 = 14,12$ руб. за метр.

Замечание 3. При всех вычислениях с процентами на практике следует пользоваться способами приближённых вычислений (см. следующие параграфы)

¹) Обозначение % произошло от искажения записи $c_{to}$ сокращение от слова cento)

²) Иными словами, данное число умножается на дробь, выражающую указанный процент.

³) Описанное действие равносильно следующему: $2860 \cdot 1,15 = 3289$

⁴) Иными словами, данная величина делится на дробь, выражающую указанный процент.

⁵) Описанное действие равносильно следующему: $3000 : 0,125 = 24\,000$