#33 О приближенных вычислениях

Числа, с которыми мы имеем дело в жизни, бывают двух родов. Одни в точности дают истинную величину, другие — только приблизительно. Первые называют точными, вторые — приближенными. Часто мы сознательно берем приближенное число вместо точного, так как последнее нам не требуется. Во многих же случаях точное число невозможно найти по сути дела.
Пример 1.
В этой книге $420$ страниц; число $420$ — точное.

Пример 2.
В шестиугольнике $9$ диагоналей; число $9$ — точное.

Пример З.
Продавец взвесил на автоматических весах $50$ г масла. Число $50$ — приближенное, так как весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса на $0,5$ г.

Пример 4.
Расстояние от ст. Москва до ст. Ленинград Октябрьской ж. д. составляет $651$ км. Число $651$ — приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные инструменты неточны, с другой же стороны, сами станции имеют некоторое протяжение.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. При этом неточными могут оказаться и те цифры, которые получены действиями над точными цифрами данных чисел.

Пример 5.
Перемножаются приближенные числа $60,2$ и $80,1$. Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближенных лишь сотыми, тысячными и т. д. долями. В произведении получаем $4822,02$. Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц.

Пусть, например, сомножители получены округлением (#35) точных чисел $60,25$ и $80,14$. Тогда точное произведение будет $4828,435$, так что цифра единиц в приближенном произведении ($2$) отличается от точной цифры ($8$) на $6$ единиц.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1. зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;
2. брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;
3. рационализировать самый процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.