#35 Правила округления

В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа как приближенные, так и точные, т. е. отбрасывать одну или несколько последних цифр. Чтобы обеспечить наибольшую близость округленного числа к округляемому, соблюдаются следующие правила.

Правило 1.
Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем $5$, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т. е. увеличивается на единицу. Усиление совершается и тогда, когда первая из отбрасываемых цифр равна $5$, а за ней есть одна или несколько значащих цифр. (О случае, когда за отбрасываемой пятеркой нет цифр, см. ниже, Правило 3.)

Пример 1.
Округляя число $27,874$ до трех значащих $5$. Число $27,9$ ближе к данному, чем неусиленное округленное число $27,8$.

Пример 2.
Округляя число $36,251$ до первого десятичного знака, пишем $36,3$. Цифра десятых $2$ усилена до $3$ так как первая отбрасываемая цифра равна $5$, а за ней есть значащая цифра $1$. Число $36,3$ ближе к данному (хотя и незначительно), чем неусиленное число $36,2$.

Правило 2.
Если первая из отбрасываемых цифр меньше чем $5$, то усиления не делается.

Пример 3.
Округляя число $27,48$ до единиц, пишем $27$. Это число ближе к данному, чем $28$.

Правило 3.
Если отбрасывается цифра $5$, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т. е. последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она четная, и усиливается, если она нечетная. Почему применяется это правило, сказано ниже (см. Замечание).

Пример 4.
Округляя число $0,0465$ до третьего десятичного знака, пишем $0,046$. Усиления не делаем, так как последняя сохраняемая цифра $6$-четная. Число $0,046$ столь же близко к данному, как $0,047$.

Пример 5.
Округляя число $0,935$ до второго десятичного знака, пишем $0,94$. Последняя сохраняемая цифра $3$ усиливается, так как она нечетная.

Пример 6.
Округляя числа $6,527; \quad 0,456$; $\quad2,195$; $\quad1,450$; $\quad0,950$; $\quad4,851$; $\quad0,850$; $\quad0,05\quad$ до первого десятичного знака, получаем: $6,5; \quad0,5;\quad 2,2;\quad 1,4;\quad 1,0;\quad 4,9;\quad 0,8; \quad0,0$.

Замечание.
Применяя Правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления (см. Примеры 4 и 5). Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточные. Взаимная компенсация погрешностей обеспечит наибольшую точность результата.

Правило 3 можно изменить и применять всегда округление на ближайшее нечетное число. Точность будет та же, но четные цифры удобнее, чем нечетные.