#37 Предварительное округление при сложении и вычитании

Если не все данные числа заканчиваются на одном и том же разряде, то до выполнения сложения или вычитания следует произвести округление. Именно, нужно удержать лишь те разряды, которые верны у всех слагаемых. Остальные отбрасываются как бесполезные.

При небольшом числе слагаемых все цифры суммы, кроме последней, будут верны. Последняя может быть не вполне точной. Эту неточность можно свести к минимуму, если учесть влияние цифр следующего разряда (запасные цифры).

Пример 1.
Найти сумму $25,3 + 0,442 + 2,741$.

Не округляя слагаемых, получим $28,483$. Последние две цифры бесполезны, так как в первом слагаемом возможна неточность в несколько сотых. Округляя сумму до точных цифр (т. е. до десятых долей), получаем $28,5$. Если произведем округление до точных цифр предварительно, то найдем без лишнего труда $25,3 + 0,4 + 2,7 = 28,4$. Цифра десятых получилась на $1$ меньше. Если же учесть и цифры сотых, получим $25,3 + 0,44 + 2,74 = 28,48$, т. е. округленно $28,5$. Цифра $5$ надежнее, чем $4$, хотя не исключена возможность, что верная цифра — именно $4$¹).

При учете запасных цифр вычисление располагается, как показано на схеме (запасные цифры отделены чертой).

Схема: $$
\begin{array}{lll}
\begin{array}{l}
+
\end{array}
\begin{array}{l}
25,3\\~~0,4\\~~2,7\\ \hline
\end{array}
\begin{array}{|l}
~\\4\\4\\
\end{array}\\
\begin{array}{l}
~
\end{array}
\begin{array}{l}
~~~28,5
\end{array}
\end{array}$$
Пример 2.
Найти сумму $52,861 + 0,2563 + 8,1 + 57,35 + 0,0087$.
Без учета запасных цифр (сохраняем только округленные цифры десятых; (см. правила округления, #35) получаем $118,7$. С учетом запасных цифр получаем $118,6$.

В последнем результате цифра десятых может оказаться неверной вследствие неточности третьего слагаемого; вместо $6$ может стоять $5$ (если третье слагаемое есть округление числа $8,06$). Но цифра $6 $ гораздо надежнее. Во всяком случае, цифра $7$ не может быть верной. Учет запасных цифр дает улучшение, но незначительное.

Схема слева показывает сложение без учета запасных цифр, справа — с учетом:

¹) Если предположить, что первое слагаемое есть округление числа $25,26$, то сумма с точностью до $0,01$ составляла бы $28,44$, т. е. округленно $28,4$. Если те $25,3$ есть округление числа $25,27 $ или $25,28 $ и т. д., то после округления сумма составит $28,5$.