#39 Погрешность произведения

Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей. (О точной величине предельной погрешности см. замечание к Примеру 1.)

Пример 1.
Пусть перемножаются приближенные числа $50$ и $20$ и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя есть $0,4\%$, а второго $0,5\%$. Тогда предельная относительная погрешность произведения $50 \cdot20 = 1000$ приближенно равна $0,9\%$.

В самом деле, предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть $50\cdot 0,004 = 0,2$, а второго $20\cdot 0,005 = 0,1$. Поэтому истинная величина произведения не больше, чем $(50 + 0,2) \cdot(20 + 0,1) = 1009,02$, и не меньше, чем $(50 - 0,2)\cdot(20 - 0,1) = 991,02$.

Если истинная величина произведения есть $1009,02$, то погрешность произведения равна $1009,02 - 1000 = 9,02$, а если $991,02$, то погрешность произведения равна $1000 - 991,02 = 8,98$. Рассмотренные два случая — самые неблагоприятные. Значит, предельная абсолютная погрешность произведения есть $9,02$. Предельная относительная погрешность равна $9,02 :1000 = 0,902\%$, т. е. приближенно $0,9\%$.

Замечание.
Обозначим предельную относительную погрешность произведения буквой $\delta$, а предельную относительную погрешность сомножителей — буквами $\delta_1$ и $\delta_2$(в Примере 1 $\delta_1 = 0,004;\quad \delta_2 = 0,005;\quad \delta_3 = 0,00902$).

Наше правило (для двух сомножителей) запишется так:
$$\delta \approx \delta_1 + \delta_2$$
Точное же выражение $\delta$ будет:
$$\delta \approx \delta_1 + \delta_2 + \delta_1 \delta_2$$
т. е. предельная относительная погрешность произведения всегда больше, чем сумма предельных относительных погрешностей сомножителей; она превышает эту сумму на произведение относительных погрешностей сомножителей. Это превышение обычно так невелико, что его не приходится учитывать. В условиях Примера 1 имеем $\delta = 0,004 + + 0,005 + 0,004\cdot 0,005 = 0,00902$. Превышение здесь составляет $0,00902 - 0,009 = 0,00002$, т. е. около $0,2\%$ от приближенной величины предельной относительной погрешности. Это превышение столь незначительно, что его нет смысла учитывать.

Пример 2.
Пусть перемножаются приближенные числа $53,2$ и $25,0$. Предельная абсолютная погрешность каждого есть $0,05$. Поэтому $delta_1 = 0,05 : 53,2 = 0,0009;\quad \delta_2 = 0,05:25,0 = 0,002.$ Предельная относительная погрешность произведения $53,2\cdot 25,0 = 1330$ приближенно равна $0,0009 + 0,0020 = 0,0029$. Величина $\delta_1\delta_2 = 0,0009\cdot0,002 = 0,0000018$ столь мала, что учитывать ее нет смысла.

Предельная абсолютная погрешность произведения $1330$ равна $1330\cdot0,0029 \approx 4$, так что последняя цифра произведения (нуль) может быть неверной.

Пример 3.
Найти объем комнаты по данным измерения: длина $4,57$ м, ширина $3,37$ м высота $3,18$ м (предельные абсолютные погрешности $0,005$ м). Перемножая данные числа, находим, что объем составляет $48,974862$ м$^3$. Но здесь лишь две цифры безусловно верны, уже в третьей цифре может быть небольшая погрешность.

Действительно, предельные относительные погрешности сомножителей равны: $\delta_1 = 0,005:4,57 \approx 0,0011;\quad \delta_2 = 0,005:3,37 \approx 0,0015; \quad \delta_3 = 0,005:3,18 \approx 0,0016$. Предельная относительная погрешность произведения есть $\delta = 0,0011 + 0,0015 + 0,0016 = 0,0042$. Предельная абсолютная погрешность произведения $\Delta \approx 49,0\cdot 0,0042 \approx 0,21$. Поэтому уже третья значащая цифра произведения ненадежна. Значит, нужно считать, что объем комнаты составляет $49,0$ м$^3$.