#41 Сокращенное умножение

Primary tabs

Submitted by bahur on Wed, 02/05/2020 - 17:05

Forums:

Применяя правила умножения точных чисел к числам приближенным, мы нерационально тратим время и труд на вычисление тех цифр, которые затем нужно откинуть. Вычислительный процесс можно рационализировать, если руководствоваться следующими правилами:

  1. умножение начинают не с низших разрядов множителя, а с высших; при умножении множимого на наивысший разряд множителя умножение выполняется полностью;
  2. перед умножением на следующий разряд множителя в множимом вычеркивается последняя цифра, умножение производится на укороченное множимое, но к результату прибавляется округленное произведение взятого разряда множителя на отброшенную цифру множимого;
  3. перед умножением на третий (от начала) разряд множителя зачеркивается еще одна цифра множимого (вторая от конца); умножение производится на остающиеся цифры множителя, при этом учитывается влияние только что отброшенной цифры и т. д.;
  4. получаемые произведения располагаются так, чтобы друг под другом располагались все низшие разряды;
  5. для определения места запятой в произведении существуют особые правила, по практичнее всего основываться на грубой предварительной оценке величины произведения. Рекомендуется во избежание ошибок зачеркивать уже использованную цифру множителя.

Пример 1.
Перемножить приближенные числа $6,7428\cdot 23,25$. Уравниваем число значащих цифр: в первом сомножителе отбрасываем цифру $8$, заменяя предыдущую цифру $2$ тройкой. Вычисляем по приводимой схеме в следующем порядке:

Запись:
$$
\begin{array}{lll}
\begin{array}{l}
\times \\~\\~\\+\\~\\~\\
\end{array}
\begin{array}{l}
~~~6,743\\~~~23,25\\ \hline
~~~13486\\~\,~~~2023\\~~~~~~~135\\~~~~~~~~\,34\\ \hline
\,156,78
\end{array}
\end{array}
$$
  1. не обращая внимания на запятые, множим $6743$ на $2$, результат $13\,486$ выписываем полностью; умножение производится, как обычно, начиная с $2\cdot 3 = 6$ (эта шестерка подписывается под низшими разрядами сомножителей);
  2. зачеркиваем использованную цифру множителя $2$ и последнюю цифру множимого $3$; умножаем следующую цифру множителя $3$ на укороченное множимое $674$, предварительно учтя, что зачеркнутая цифра $3$ дала бы в произведении $3\cdot 3 = 9$; поэтому к произведению прибавляется $1$ (с самого же начала умножения $3\cdot 4 = 12; \quad 12 + 1 = 13; \quad 3 записано; \quad v1$ удержано в уме). Низший разряд произведения ($3$) записывается под низшим разрядом предыдущего произведения ($6$);
  3. зачеркивая вторую от начала цифру множителя и вторую от конца цифру множимого, множим третью цифру множителя $2$ на укороченное множимое $67$; предварительно замечаем, что от умножения этой цифры множителя на только что отброшенную цифру множимого получили бы $8$, так что к произведению прибавляем $1$;
  5. наконец, зачеркнув еще $2$ в множителе и $7$ в множимом, умножаем $5$ на $6$, предварительно заметив, что $5\cdot 7 = 35$, так что к произведению $5\cdot 6 = 30$ прибавляем четдерку (лучше, чем тройку, так как умножать нужно было бы не только на цифру $7$, но и на следующие за ней отброшенные цифры);
  6. все полученные произведения складываем, получаем $15\,678$.

Чтобы выбрать место запятой, грубо округляем сомножители, беря вместо первого, например, $6$, вместо второго $20$. Искомое произведение грубо равняется $120$, т. е. целая часть нашего результата является трехзначным числом; следовательно, в нашем результате нужно отделить запятой первые три цифры, т. е. нужно взять $156,78$, а не $15,678$ и не $1567,8$. В этом результате верны только первые четыре цифры. Последнюю цифру (которая может содержать ошибку до трех единиц) используем для округления результата и получаем $156,8$.

Пример 2.
$674,3\cdot 232,5$. Умножение производим, как в предыдущем примере. Получив $15\,678$, выбираем место запятой. Грубое умножение дает $600\cdot 200 = 120\,000$, т. е. шестизначное число. Так как целая часть нашего результата должна содержать шесть цифр, а полученное нами число $15\,678$ содержит пять цифр, то приписываем к этому числу справа нуль;, место запятой выходит за пределы выписанных цифр, т. е, результат нашего умножения выражается целым числом $156\,780$. Так как последняя цифра (нуль) заведомо неверна, пишем результат в виде $15 678\cdot 10 $ или $1568\cdot10^2$ (см. 34).

  • Log in to post comments
  • 1666 reads