#44 Возведение в степень и извлечение квадратного корня из приближенных чисел

Возведение в (целую) степень есть повторное умножение, и потому к нему относится все сказанное в #40—#41. При возведении в небольшую степень результат имеет столько же верных цифр, сколько взятое число, или содержит небольшую ошибку в последнем знаке. Если же степень велика, то накопление небольших ошибок может отразиться и на цифрах высшего разряда.

При извлечении корня любой степени результат имеет по меньшей мере столько же верных цифр, сколько их было в подкоренном числе. Так, извлекая квадратный корень из приближенного числа $40,00$, можно получить четыре верные цифры ($\sqrt{40,00} \approx 6,324$)¹.

Способ извлечения квадратного корня, обычно изучаемый в школе, громоздок и трудно запоминается, а теоретическое его обоснование для большинства учащихся остается недоступным. Ниже приводится простой и легко запоминаемый способ извлечения квадратного корня (с любой требуемой степенью точности). Этот способ описан древнегреческим ученым Героном примерно 2000 лет назад². Тот же способ можно применить и для извлечения корня третьей (и более высокой) степени (см. ниже, #44а).

Правило извлечения квадратного корня.
Чтобы извлечь квадратный корень, берем «на глаз» первое приближение и поступаем так.

1. Делим подкоренное число на первое приближение корня; если окажется, что полученное частное разнится от первого приближения на величину, не превышающую допустимой погрешности, то корень извлечен.
2. В противном случае находим среднее арифметическое (#45) делителя и частного. Это среднее арифметическое дает значительно более точное значение (второе приближение) корня. При сколько-нибудь умелом выборе первого приближения второе приближение дает $3$ верные цифры, а обычно не менее $4$ верных цифр. Вообще в каждом новом приближении число верных цифр удваивается по сравнению с предыдущим.
3. Подвергаем второе приближение такому же испытанию, как первое, то есть делим подкоренное число на второе приближение. Если бы оказалось, что точность результата недостаточна, то находим третье приближение тем же способом, каким нашли второе, и т. д.

Замечание 1.
Изложенный способ «не боится ошибок»: он автоматически исправляет арифметическую ошибку, если таковая допущена на предыдущем этапе. Единственным вредным последствием будет замедление выкладки.

Пример 1. $\sqrt{40,00}. $
Подкоренное число имеет четыре верные цифры; вычислять более четырех цифр корня нет смысла. Найдем четыре цифры. За первое приближение надо принять какое-нибудь число, заключенное между $6$ и $7$ (так как $6^2 = 36$ меньше подкоренного числа, а $7^2 = 49$ — больше). В этих границах можно взять любое число, но если хотим сэкономить дальнейший труд, то надо взять какое-то число, меньшее чем $6,5 $(так как подкоренное число значительно ближе к $6^2$, чем к $7^2$). Возьмем, например, $6,4$³. Далее поступаем так.

1. Делим подкоренное число $40,00$ на первое приближение $6,4$. Получаем $40,00 : 6,4 = 6,25$. Уже во второй цифре частное $6,25 $ разнится от делимого $6,4$. Точность результата недостаточна.
2. В качестве второго приближения берем среднее арифметическое делимого $6,40$ и частного $6,25$. Получаем ($6,40 + 6,25) : 2 = 6,325$. Можно ожидать, что в этом втором приближении верны если не все четыре, то первые три цифры.
3. Для контроля делим подкоренное число $40,00$ на второе приближение $6,325$ (доводя деление до четвертой цифры) $40,00 : 6,325 \approx 6,324$. Полученное частное $6,324$ отличается от делителя $6,325$ лишь на единицу четвертого знака. Отсюда следует, что корень (с требуемой степенью точности) найден.

Действительно, если возвести число $6,324$ в квадрат, т. е. умножить его на $6,324$, то получим число, меньшее чем произведение $6,324\cdot 6,325$, которое (приближенно) составляет $40,00$. Если же возвести в квадрат число $6,325$, то получится число, большее чем $6,325\cdot 6,324 \approx 40,00$. Следовательно, искомый квадратный; корень лежит между $6,324$ и $6,325$. Поэтому искомый корень отличается от $6,324$ (или от $6,325$) меньше чем на единицу четвертого знака: $\sqrt{40,00} \approx 6,324$ (все 4 знака верны).

Пример 2. $\sqrt{23,5}$.
Искомый корень заключается между $4$ и $5$ и лежит гораздо ближе к $5$, чем к $4$ (так как $23,5$ гораздо ближе к $25$, чем к $16$). Возьмем за первое приближение круглое число 5,0.

1. Делим подкоренное число $23,5$ на первое приближение $5,00$ (доводя частное до третьей цифры): $23,5 : 5,0 = 4,70$.
2. В качестве второго приближения берем среднее арифметическое $(5,00 + 4,70) : 2 = 4,85$. Можно ожидать, что все три цифры верны.
3. Для контроля делим подкоренное число $23,5$ на второе приближение $4,85$. Получаем $23,5 : 4,85 \approx 4,85$. Так как частное равно (с точностью до третьего знака) делителю, то корень извлечен (с максимально возможной степенью точности): $\sqrt{23^5} \approx 4,85$.

Замечание 2.
Если подкоренное число есть десятичная дробь, имеющая в целой части одну значащую цифру или нуль, то для отыскания первого приближения рекомендуется перенести запятую вправо через две, четыре, шесть и т. д. цифр с таким расчетом, чтобы в целой части оказалось небольшое число знаков.

Далее поступаем как в Примерах 1 и 2, и в окончательном результате переносим запятую в обратном направлении через одну, две, три и т. д. цифры.

Аналогично можно поступать в тех случаях, когда подкоренное число имеет многозначную целую часть; но тогда запятая вначале переносится влево через две, четыре, шесть и т. д. цифр.

В подкоренном числе запятую можно переносить только через четное число цифр.

Пример 3. $\sqrt{0,008732}$.
Переносим запятую через $4$ знака вправо. Получаем $87,32$; при выборе первого приближения будем учитывать только целую часть. Примем за первое приближение, скажем, число $9,3$.

1. Делим $87,32$ на $9,3$. Продолжая деление до четвертой значащей цифры, получим $87,32 : 9,3 \approx 9,389$.
2. Находим среднее арифметическое $(9,300 4-9,389) :. 2 \approx 9,344$.
3. Для контроля выполняем деление $87,32 : 9,344 \approx 9,345$. Значит, в любом из чисел $9,344$ и $9,345$ все четыре знака — верные (первое дает недостаточное приближение, второе — избыточное).
4. Так как вначале мы перенесли запятую вправо через 4 знака, то в обратном направлении (т. е. влево) запятую надо перенести через 2 знака. Получаем $\sqrt{0,008732} \approx 0,09344$.

Пример 4. $\sqrt{8732000}. $
Переносим запятую влево через 6 цифр. Получаем 8,732 (если перенести запятую через 4 цифры, получим $873,2$, но не $87,32$, как в предыдущем примере!). За первое приближение примем число $3$.

1. $8,732 : 3 = 2,911$.
2. $ (3,000 + 2,911) :2 = 2,955$, Из первого действия ясно, что в первом приближении $(3,000)$ были две верные цифры. Поэтому надо ожидать, что во втором приближении будут верны 4 цифры. Контроль подтверждает это.
3. Так как вначале мы перенесли запятую влево через 6 знаков, то теперь переносим ее в обратном направлении через 3 знака: $\sqrt{8732000} \approx 2955$.

¹Если пользоваться способом извлечения квадратного корня, обычно изучаемым в школе, то, чтобы получить в результате $6,324$, надо подкоренное число представить в виде $ 40,000\,000$, т. е. приписать к нему четыре нуля справа. Приписанные нули будут неверными цифрами, но соответствующие цифры результата верны. Результат останется тем же, если вместо четырех нулей дописать четыре произвольно взятые цифры.

²Герон пользовался простыми дробями; мы, конечно, будем пользоваться десятичными дробями.

³Можно взять $6,3$ или $6,2$, но брать $6,1$ нет смысла, ибо $6,1$ слишком близко к $6$