#44a Правило извлечения кубического корня

Чтобы извлечь кубический корень, берем «на глаз» первое приближение и поступаем так.

1. Деление на первое приближение (ср. правило #44) выполняется дважды: сначала делимым служит подкоренное число, а затем — число, полученное в результате первого деления. Если частное (полученное после второго деления) разнится от первого приближения (т. е. от делителя) на величину, не превышающую допустимой погрешности, то корень извлечен.
2. В противном случае находим среднее арифметическое трех чисел, а именно частного (от двух делений) и дважды взятого делителя¹. Получаем второе приближение; у него (при сколько-нибудь умелом выборе первого приближения) три цифры будут верными, а четвертая в худшем случае потребует исправления на $1$.
3. Второе приближение можно подвергнуть такому же испытанию, как первое; но этот контроль утомителен.

Пример 1. $\sqrt[3]{785,0}$.
Искомый корень заключен между $9$ и $10$. За первое приближение возьмем $9,2$ (так как подкоренное число примерно в $4$ раза ближе к $9^3$, чем к $10^3$).

1. Надо разделить на $9,2$ сначала подкоренное число $785,0$, а затем частное $785,0 : 9,2$. Вместо этого можно разделить $785$ на $9,2^2 = 84,64$. Получаем
   $$785,0 : 9,2 : 9,2 = 785,0 : 84,64 \approx 9,275$$.
   Как видим, первое приближение имеет две верные цифры. Чтобы наилучшим образом найти второе приближение, учтем, что подкоренное число $785,0$ оказалось произведением трех неравных сомножителей: $785,0 = 9,2 \cdot 9,2\cdot 9,275$, а нам надо представить его в виде произведения трех равных сомножителей; $785,0 = x\cdot x\cdot x$ (где $х = \sqrt[3]{785,0}$). Естественно предположить, что каждый из этих равных сомножителей должен примерно равняться среднему арифметическому сомножителей $9,2; \quad 9,2 и 9,275$.
2. Итак, в качестве второго приближения берем среднее арифметическое $(9,275 + 9,200 + 9,200) : 3 = 9,225.$ Вычисление рекомендуется производить по сокращенному способу (#46).
3. Для контроля можно разделить подкоренное число $785,0$ на второе приближение $9,225$, и результат еще раз разделить на $9,225$ (или разделить подкоренное число на $9,225^2 \approx 85,09$). Получим $9,225$ (если при вычислениях не сохранять запасную цифру, получится $9,224$):
   $$\sqrt[3]{785,0} \approx 9,225 (\text{все 4 цифры верны}).$$

Замечание.
При подыскании первого приближения бывает полезно перенести запятую в подкоренном числе вправо (или влево) через $3,\quad 6,\quad 9$ и т. д. цифр (ср. #44, замечание 2). В окончательном результате переносим запятую в обратном направлении через $1,\quad 2,\quad 3$ и т. д. цифры. Переносить запятую можно только через такое число цифр, которое делится на $3$.

Пример 2. $\sqrt[3]{1835\cdot 10}$.
В подкоренном числе $18\,350$ переносим запятую (подразумеваемую после цифры единиц) влево через три цифры. Получаем $18,35$. Это число находится примерно посредине между $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$. Поэтому за первое приближение принимаем $2,5$.

1. Надо дважды выполнить деление на $2,5$ или, что то же, один раз разделить число $18,35$ на $2,52$. Получаем $18,35 : 2,5 : 2,5 = 18,35 : 6,25 \approx 2,94$.
   Как видим, в первом приближении верна только одна цифра. Значит, надо ожидать, что во втором приближении будут лишь две верные цифры. Поэтому в следующем действии ведем вычисление лишь на два знака.
2. В качестве второго приближения берем среднее арифметическое $(2,5 + 2,5 + 2,9) : 3 \approx 2,6$.
3. Чтобы уточнить результат, надо дважды выполнить деление на $2,6$. Получаем
   $$18,35 : 2,6 : 2,6 = 18,35 : 6,76 \approx 2,715$$
   Как видим, второе приближение имеет две верные цифры; значит, третье, вероятно, будет иметь $4$ верные цифры.
4. В качестве третьего приближения берем среднее арифметическое $(2,715 +2,600+ 2,600) : 3 = 2,638$. Контроль (который мы опускаем) показал бы, что здесь все четыре цифры верны: $\sqrt[3]{1835\cdot 10} \approx 26,38$

¹Откуда возникает это второе действие — будет видно из Примера 1.