§1.2 Размерность пространства

Важную роль в дальнейшем будет играть понятие линейной зависимости и линейной независимости веторов.

Определение 2. Пусть $R$ - линейное пространство. Векторы $ x, y, z, ..., \mu $ называются линейно зависимыми, если существуют такие числа $ \alpha, \beta, \gamma, ..., \theta, $ из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

$ \alpha x + \beta y + \gamma z + ... + \theta \mu = 0 $ (1)

Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называется линейно независимыми. Другими словами, векторы $ x, y, z, ..., \mu $ называются линейно независимыми, если равенство

$ \alpha x + \beta y + \gamma z + ... + \theta \mu = 0 $
возможно только при $\alpha = \beta = \gamma = ... = \theta = 0$

Пусть векторы $x, y, z, ..., \mu $ линейно зависимы, т. е. пусть они связаны соотношением вида (1), в котором хотя бы один из коэффициентов, например $ \alpha $, отличен от нуля. Тогда

$ \alpha x = \beta y - \gamma z - ... - \theta \mu $
и, разделив на $ \alpha $ и положив

$ - { {\beta}\over{\alpha} }= \lambda$, $ - { {\gamma}\over{\alpha} } = \mu, ..., - { {\theta}\over{\alpha} } = \zeta$,
получим:

$x= \lambda y + \mu z + ... + \zeta \upsilon $ (2)

Если вектор $x$ выражается через векторы $ y, z, ..., \upsilon$ в виде (2), то мы будем говорить, что $x$ есть линейная комбинация векторов $y, z, ..., \upsilon. $

Таким образом, если векторы $ x, y, z, ..., \upsilon$ линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Мы предоставляем читателю проверить, что верное и обратное, т. е. что векторы, один из которых есть линейна, комбинация остальных, линейно зависимы.

Упражнения. 1. Проверить, что если среди векторов $x, y, z, ..., \upsilon$ имеется нулевой вектор, то эти векторы обязательно линейно зависимы.

2. Показать, что если к линейно зависимыми векторам $ x, y, z, ...$ добавить ещё произвольные векторы $ u, \upsilon, ..., $ то все эти векторы вместе также будут линейно зависимы.

3. Доказать, что если векторы $ y, z, ..., \upsilon$ линейно независимы и вектор $x$ есть их линейная комбинация

$x= \alpha y + \beta z + ... + \vartheta \upsilon$, (3)
то представление (3) единственно.

Указание. Предположить, что есть другое представление:

$ x= \alpha-1 y + \beta_1 z + ... + \vartheta_1 \upsilon$, (4)
и вычесть равенство (4) из равенства (3).

Перейдем теперь к определению понятия числа измерений (размерности) пространства.

В совокупности векторов на прямой всякие два вектора пропорциональны, т. е. линейно зависимы. На плоскости можно найти два линейно независимых вектора, но уже всякие три вектора линейно зависимы. Если $R - $ совокупность векторов трехмерного пространства, то три линейно независимых вектора в $R$ найти можно , но всякие четыре вектора линейно зависимы.

Мы видим, что максимально число линейно независимых векторов на прямой, плоскости, в трехмерном пространстве совпадает с тем, что в геометрии принято называть числом измерений прямой, плоскости, пространства. Естественно поэтому следующее общее

Определение 3. Линейное пространство $R$ называется n-мернвм, если в нем существует n линейно независимых векторов и нет большего числа линейно независимых векторов.

Если в пространстве $R$ можно найти любое число линейно независимых векторов, то $R$ называется бесконечномерным. Бесконечномерным пространства составляют предмет специального изучения. Мы будем в этой книге заниматься в основном пространствами конечного числа измерений.

Найдем в каждом из рассмотренных выше примеров $1-4$ размерность соответствующего пространства.

1. Как мы уже указали, в пространстве $R$ примера 1 имеется три линейно независимых вектора, а всякие четыре вектора линейно зависимы. Поэтому $R$ трехмерно.

2. $R$ пространство, векторами которого являются системы $n$ действительных чисел.

В этом пространстве можно указать $n$ линейно независимых векторов, например

$ x_1 = (1, 0, ..., 0)$

$ x_2 = (0, 1, ..., 0)$

$ .................$

$ x_n = (0, 0, ..., 1)$
(мы предоставляем читателю доказать, что эти векторы действительно линейно независимы).

Упражнение. Показать, что векторы
$$ x_1 = ( \eta_11, \eta_12, ..., \eta_{1n}) $$
$$ x_2 = (0, \eta_22, ..., eta_{2n}) $$
$$ x_3 = (0, 0, ..., \eta_{3n}) $$
$$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . $$
$$ x_n =(0, 0, ..., \eta_{nn}) $$
в пространстве R также линейно независимы $ (\eta_{11}, \eta_22, ... \eta_{nn} ≠ 0) $.

3. R - пространство непрерывных функций. Пусть N - произвольное целое число. Тогда функции $ f_1 (t) = 1, f_2 (t) = t, ..., f_N (t) = t^{N-1} $ образуют совокупность N линейно независимых векторов (доказательство предоставляем читателю). Мы видим, что в этом пространстве имеется произвольное число линейно независимых функций, т. е. R бесконечномерно.

4. R - пространство многочленов степени $ \leqslant n - 1. $
В нем $n$ многочленов $ 1, t, ..., t^{n-1} $ линейно независимы.

5. В пространстве квадратных матриц $ \| \alpha_{ik} \| $ порядка $n$ все матрицы , у которых на одном каком-либо месте стоит единица, а на остальных местах нули, линейно независимы.

В примерах 1, 2, 4 мы нашли систему таких линейно независимых векторов $ f_1, ..., f_n$, что каждый вектор $g$ есть их линейная комбинация. Чтобы установить, что размерность каждого из этих пространств равна числу векторов $ f_1, ..., f_n$, нам остаётся доказать, что в этих пространствах нельзя найти другой системы линейно независимых векторов $ g_1, ..., g_1$ в количестве, превосходящем $n$. Этот факт можно вывести из следующей полезной леммы, который мы неоднократно будем пользоваться и в дальнейшем.

Лемма. Пусть в линейном пространстве задана система векторов

$ f_1, ..., f_k.$
Пусть, далее, каждый из векторов

$ g_1, ..., g_1$
есть линейная комбинация векторов $ f_1, ..., f_k.$ Тогда, если векторы $g_1, ..., g_1$ линейно независимы, то $ l \leqslant k$.

Другими словами, среди линейных комбинаций $k$ векторов $ f_1,..., f_k$ не может быть больше чем $k$ линейно независимых.

Доказательство леммы проведем по индукции. При $k=1$ она очевидна. Предположим, что Лемма верна для $k-1$ веторов $f_1, ..., f_{k-1},$ и докажем при этом, что она верна для $k$ векторов.

Итак, пусть среди линейных комбинаций векторов

$f_1, ..., f_{k-1},$
есть линейно независимые векторы $g_1, ..., g_1:$

$ g_1 = \alpha_{11} f_1 + ... + \alpha_{1k} f_k$

$ g_2 = \alpha_{21} f_1 + ... + \alpha_{2k} f_k$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$ g_1 = \alpha_{\iota 1} f_1 + ... + \alpha_{\iota k} f_k $
Нам надо показать, что $\iota \leqslant k$. Если все коэффициенты при $f_k$ равны нулю, Лемма доказана, так как в этом случаем предположению индукции, имеет место равенство $ \iota \leqslant k-1$, а значит, и подавно, $\iota \leqslant k$. Пусть хотя бы один из коэффициентов при $f_k$, например $\alpha_{\iota k}$, не равен нулю. Чтобы провести индукцию, мы построим $l-1$ новых линейно независимых векторов, которые будут линейными комбинациями векторов $f_1, ..., f_{k-1}$. Для этого из последнего равенства выразим $f_k:$

$f_k = {{1} \over {\alpha_{\iota k}}} g_1 - {{\alpha_{\iota 1}} \over {\alpha_{\iota k}}} f_1 - ... - { {\alpha_{\iota, k-1}} \over {\alpha_{\iota, k}} f_{k-1}}$
Это выражение для $f_k$ подставим теперь в каждое из первых $l-1$ равенств (5) и соберём подобные члены. Мы получим равенства следующего вида:

$g_1 - {{\alpha_{1k}} \over {\alpha_{\iota k}}} g_1 = \beta_{11} f_1 + ... + \beta_{1, k-1} f_{k-1}, $

$g_2 - {{\alpha_{2k}} \over {\alpha_{\iota k}}} g_1 = \beta_{21} f_1 + ... + \beta_{2, k-1} f_{k-1}, $

$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$

$g_{\iota - 1} - {{\alpha_{\iota - 1,k}} \over {\alpha_{\iota k}}} g_{1} = \beta_{\iota - 1} {1} f_1 + ... + \beta_{\iota - 1, k-1} f_{k-1}, $
Эти равенства означают, что каждый из $l-1$ векторов

$ g_1 = g_1 - {{\alpha_{1k}} \over {\alpha_{\iota k}}} g_1, ..., g_{\iota -1} = g_{\iota - 1} - {{\alpha_{\iota - 1,k}} \over {\alpha_{\iota k}}} g_{1}$
Честь линейная комбинация векторов $f_1, ..., f_{k-1},$ Если мы докажем, что они линейно независимы, то, по предположению индукции, отсюда будет следовать, что $l-1 \leqslant k-1$, и. е. $l \leqslant k$

Таким образом, нам осталось показать, что векторы $ g_1, ..., g_{\iota -1} $ линейно независимы. Но это почти очевидно. Действительно, предположим, что $ \lambda_1 g_1 + ... + \lambda_{\iota - 1} g_{\iota - 1} = 0,$
и. е. что

$ \lambda_1 (g_1 - {{\alpha_{1 k}} \over {\alpha_{\iota k}}} g_1) + ... \lambda_{\iota - 1} (g_{\iota - 1} - {{\alpha_{\iota - 1, k}} \over {\alpha_{\iota k}}} g_1) =0 $
Раскрывая скобки, получаем:
$ \lambda_1 g_1 + \lambda_2 g_2 + ... + \lambda_{\iota-1} g_{\iota - 1} -$

$ - (\lambda_1 {{\alpha_{1 k}} \over {\alpha_{\iota k}}} + ... \lambda_{\iota - 1} {{\alpha_{\iota - 1, k}} \over {\alpha_{\iota k}}} ) g_1 = 0$
Так как векторы $ g_1, ..., g_1$ линейно независимы, то все коэффициенты в последнем равенстве равны нулю. В частности $ \lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_{\iota - 1} = 0$, а это означает, что векторы $ g_1, ..., g_{\iota - 1} $ линейно независимы. Лемма полностью доказана .

Из доказанной леммы вытекает следующий, часто оказывающийся полезным результат: если в пространстве R существует $k$ линейно независимых векторов $f_1, ..., f_k$ таких, что каждый вектор из R есть их линейная комбинация, то пространство R $k$-мерено.

Доказательство этого факта ввиду его простоты мы оставляем читателю.

В каждом из примеров 2 и 4 такая система была выбрана. Таким образом показано, что в примерах 2 и 4 размерность пространства равна $n$, а в примере 5 размерность пространства равна $n^2$.

Упражнение. Показать, что если векторы $f_1, ..., f_k, $входящие в условие леммы, линейно зависимы, то $\iota \lt k$ (а не только $ \iota \leqslant k).$