§1.3 Оригинальный базис. Изоморфизм евклидовых пространств

Определение 4. Совокупность $n$ линейно независимых векторов $ e_1, e_2, ..., e_n$ n-мерного пространства R называется базисом в R.

Например, в пространстве R, рассмотренном в примере 1 (трехмерном пространстве), базис образуют любые три вектора, не лежащие в одной плоскости.

По определению n-мерного пространства в нем существует $n$ линейно независимых векторов т. е. существует базис.

Покажем, что произвольную систему из $k$ линейно независимых векторов $f_1, ..., f_k,$ где $k \lt n,$ можно дополнить до базиса в n-мерном пространстве R.

Пусть $e_1, ..., e_n -$ какой-либо базис в R.Если бы каждый из векторов $f_i$, то согласно лемме мы имели бы, что $n \leqslant k$, в то время как, по предположению, $k \lt n$. Значит, среди векторов $e_1, ..., e_n$ есть хотя бы один, например $f_1, ..., f_k$. Добавив вектор $e_{p 1}$ к $f_1, ..., f_k,$ мы получим систему из $k+1$ векторов, которые по-прежнему линейно независимы (почему?).

Если $ k+ 1 \lt n,$ то среди векторов $e_1, ..., e_n$ снова есть вектор $e_{p 2},$ не являющийся линейной комбинацией векторов $f_1, ..., f_k, e_{p 1}.$ Добавим и этот вектор к системе. Этот процесс можно продолжить до тех пор, пока мы дойдем до n линейно независимых векторов, т. е. до базиса. Этот базис содержит $f_1, ..., f_k,$ и тем самым наше утверждение доказано.

Теорема 1. Каждый вектор $x$ из n-мерного пространства R можно представить, и притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Доказательство. Пусть векторы $e_1, e_2, ..., e_n$ образуют вектор $x$ из R. Векторов $x, e_1, e_2, ..., e_n$ уже $n + 1$. Поэтому по определению n-мерного пространства они должны быть линейно зависимы, т. е.

$\alpha_0 x + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_n e_n = 0,$
где не все $\alpha_i$ равны нулю. Число $\alpha_0$ заведомо отлично от нуля, так как иначе из формулы (7) следовала бы линейная зависимость векторов $e_1, e_2, ..., e_n.$

Выразим из (7) вектор $x:$

$ x = - {{\alpha_1} \over ,{\alpha_0}} e_1 - {{\alpha_2} \over {\alpha_0}} e_2 - ... - {{\alpha_n} \over {\alpha_0}} e_n.$
Мы доказали, что каждый вектор $ x \in R*)$ есть линейная комбинация векторов $e_1, e_2, ..., e_n.$

Докажем теперь, что единственность полученного разложения. Предположим, что существуют два разложения:

$ x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n$

$ x = \xi_1' e_1 + \xi_2' e_2 + ... + \xi_n' e_n$
Вычитая, получим:

$ 0 = (\xi_1 - \xi_1') e_1 + (\xi_2 -\xi_2') e_2 + ... + ( \xi_n - \xi_n') e_n $
Так как $ e_1, e_2, ..., e_n $ линейно независимы, то это возможно лишь, если

$ \xi_1 - \xi_1' = \xi_2 - \xi_2' = ... = \xi_n - \xi_n' = 0,$
т. е.

Определение 5. Если $e_1, e_2, ..., e_n $ есть базис в n-мерном пространстве и

$ x = \xi_1e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n,$
то числа $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n $ называются координатами вектора $x$ в базисе $e_1, e_2, ..., e_n$.

*) Запись $ x \in R$ означает, что $x$ принадлежит R.

Теорема 1 означает, что при заданном базисе $ e_1, e_2, ..., e_n $ каждый вектор имеет координаты и притом однозначно определенные.

Если вектор $x$ имеет в базисе $e_1, e_2, ..., e_n $ координаты $ \xi_1 , \xi_2 , ..., \xi_n ,$ а вектор y координаты $ \mu_1, \mu_2, ..., \mu_n,$ т. е. если

$ x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n,$

$ y = \mu_1 e_1 + \mu_2 e_2 + ... + \mu_n e_n,$
то

$ x + y = (\xi_1 + \mu_1 ) e_1 + (\xi_2 + \mu_2) e_2 + ... + (\xi_n + \mu_n) e_n,$
т. е. вектор $ x + y $ имеет координаты \xi_1 + \mu_1, \xi_2 + \mu_2, ..., \xi_n + \mu_n.$ Вектор $ \lambda x$ имеет координаты $ \lambda \xi_1, \lambda \xi_2, ..., \lambda \xi_n$

Таким образом, при сложении векторов x и y их координаты складываются. При умножении вектора x на число $\lambda$ его координаты умножаются на это число.

Ясно также, что нулевой вектор, и только, он имеет все координаты равными нулю.

Примеры. 1. Для случая трехмерного пространства наше определение координат вектора совпадает с имеющимся в аналитической геометрии определением координат вектора в некоторой (вообще говоря, не прямоугольной) системе координат.

2. Пусть R-пространство, векторами которого являются системы $ x = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n) $ из n чисел. Возьмем базис.

$ e_1 = (1, 1, 1, ..., 1),$

$ e_2 = (0, 1, 1, ..., 1),$

$ . . . . . . . . . . . . . . . $

$ e_n = (0, 0, 0, ..., 1).$
Найдем координаты $\mu_1, \mu_2, ..., \mu_n$ вектора $x = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n)$ в этом базисе. По определению

$ x = \mu_1 e_1 + \mu_2 e_2 + ... + \mu_n e_n,$
т. е.
$ ( \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n) = \mu_1 (1, 1, ..., 1) + \mu_2 (0, 1, ..., 1) + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ \mu_n (0, 0, ..., 1) = (\mu_1, \mu_1 + \mu_2, ..., \mu_1 + \mu_2 + ... \mu_n).$
Таким образом, числа $\mu_1, \mu_2, ..., \mu_n$ находятся из следующей системы уравнений:

$\mu_1 = \xi_1,$

$ \mu_1 + \mu_2 = \xi_2,$

$ . . . . . . . $

$ \mu_1 + \mu_2 + ... + \mu_n = \xi_n,$
откуда

$ \mu_1 = \xi_1, \mu_2 = \xi_2 - \xi_1, ..., \mu_n = \xi_n - \xi_{n - 1}.$

Рассмотрим теперь в R базис, в котором связь между координатами вектора $ x = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n)$ и числами $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n,$ определяющими этот вектор, наиболее проста. Пусть

$ e_1 = (1, p, ..., 0),$

$ e_2 = (0, q, ..., 0),$

$ . . . . . . . . . . . . . . .$

$ e_n ,= (0, 0, ..., 1).$
Тогда
$ x =(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n) = \xi_1 (1, p, ..., 0) + \xi_2 (0, q, ..., 0) + ... + \xi-n (0, 0, ..., 1) = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n .$
Таким образом, в пространстве R, где каждый вектор определяется как система n чисел $(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n),$ эти числа можно трактовать как координаты вектора $ x = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n)$ в базисе $e_1 = (1, 0, ..., 0), e_2 = (0, 1, ..., 0), ..., E_n = (0, 0, ..., 1).

Упражнение. Доказать, что в любом базисе

$ e_1 = (\alpha_{11}, \alpha_{12}, ..., \alpha_{1n},$

$ e_2 = (\alpha_{21}, \alpha_{22}, ..., \alpha_{2n},$

$ . . . . . . . . . . . . . $

$ e_n = (\alpha_{n1}, \alpha_{n2}, ..., \alpha_{nn}$
координаты $ \mu_1, \mu_2, ..., \mu_n $ вектора $ x = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n)$ суть линейные комбинации чисел $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n$.

3. R-пространство, векторами которого являются многочлены ступени $ \leqslant n - q. $ Простейшим базисом является совокупность векторов $ e_1 = 1, e_2 = t, ..., e_n = t^{n-1}.$ Координатами многочлена $ P(t) = \alpha_0 t^{n-1} + \alpha_1 t^{n-2} + ... + \alpha_{n-1} $ в этом базисе являются, как легко видеть, его коэффициенты $ \alpha_0, \alpha_1, ..., \alpha_{n-1} $.

Выберем другой базис:

$ e_1' = 1, e_2' = t- \alpha, e_3' = (t - \alpha)^2, ..., e_n' = (t - a)^{n-1} $
Каждый многочлен P(t) может быть по формуле Тейлора представлен в виде:

$ P(t) = P(\alpha) + P'(\alpha) (t- \alpha) + ... + {{P^{n-1} (\alpha)} \over {(n-1) !}} (t-\alpha)^{n-1}$
Таким образом, в этом базисе $ P(t) $ имеет координаты

$ P(\alpha), P'(\alpha), ..., {{P^{n-1} (\alpha)} \over {(n-1) !}}. $