§ 1.5 Подпространства линейного пространства

Определение 7. Подпространством R' пространства R называется, совокупность элементов из R таких, что они сами образуют линейное пространство относительно уже введенных в R операций сложения и умножения на числа.

Иначе говоря, совокупность R' элементов $ x, y, ...$ из R образует линейное подпространство пространства R, если из $ x \in R' , y \in R' $ следует $ x + y \in R', \lambda x \in R'. $

Примеры:

1. Нулевое подпространство, т. е. подпространство, состоящее из единственного элемента - нуля.
2. Все пространство R.
   Нулевое подпространство и все пространство называется обычно несобственными подпространствами. Приведем несколько более содержательных примеров подпространств.
3. R-трехмерное пространство. Рассмотрим какую-либо плоскость в R, проходящую через начало координат. Совокупность R' всех векторов, лежащих в этой плоскости, есть подпространство.
4. В пространстве, векторами которого являются системы n чисел $ x = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n),$ совокупность всех тех векторов $ x = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n),$ для которых $ \xi_1 = 0$, образует подпространство. Более общо: совокупность векторов $ x = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n),$ удовлетворяющих условию $ \alpha_1, \xi_1 + \alpha_2 \xi_2 + ... + \alpha_n \xi_n = 0,$ где $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n -$ какие-то фиксированные числа, образует подпространство.
5. В пространстве всех непрерывных функций совокупность многочленов степени $ \leqslant n$ является подпространством.

   Очевидно, что во всяком подпространстве R' какого-либо пространства R содержится нулевой элемент пространства R.

Поскольку любое подпространство само по себе является линейным пространством, то все такие понятия, как базис, число измерений пространства и т. д., которые мы ввели выше, применимы и к подпространствам. Так как в подпространстве не может быть больше линейно независимых векторов, чем во всем пространстве, то размерность любого подпространства не превосходит размерности всего пространства.

Упражнения. 1. Доказать, что если подпространство R' пространства R имеет ту же размерность, что и все пространство R, то оно совпадает с R.

2. Доказать, что если $R_1$ и $ R_2$ - подпространства пространства R, и если $ R_1 \subset R_2 $ и размерности $ R_1$ и $ R_2$ совпадают, то $ R_1 = R_2$.

В каждом пространстве R можно строить подространства слудющим общим приемом: возьмем в R произвольное (конечное или бесконечно) множество векторов $ e, f, g, ...; $ тогда совокупность R' всех линейных комбинаций выбранных векторов $ e, f, g, ... $ есть подпространство пространства R. Действительно, складывая между собой и умножая на числа линейные комбинации векторов $ e, f, g, ... $ мы снова получим линейные комбинации векторов $ e, f, g, ..., $ т. е. элементы из R'. Полученное таким образом подпространство R' называется подпространством, поражённым векторами $ e, f, g, ...$ Оно является наименьшим линейным подпространством, содержащим данные векторы $ e, f, g, ...$
Подпространство R', поражденное линейно независимыми векторами $ e_1, e_2, ..., e_k, $ является k-мерным и векторы $ e_1, e_2, ..., e_k $ образуют в нем базис. Действительно, в R' имеется система k линейно независимых векторов, именно, сами векторы $ e_1, e_2, ..., e_k,$ то согласно лемме п. 2, $ \iota \leqslant k$. Следовательно, R' k-мерно и набор векторов $ e_1, ..., e_k $ есть один из возможных базисов в R'.

Упражнение. Показать, что в n-мерном пространстве существуют подпространствп всех меньших разностей.
Если исключить из рассмотрения не представляющее интересе нулевое пожпространство, то самыми простыми являются одномерные подпространства. Базис всякого такого подпространства состоит из одного вектора $ e_1$.
Таким образом, одномерное подпространство состоит из векторов вида $ \alpha e_1, $ где $ \alpha $ - произвольное число.
Прибавим к каждому из векторов $ \alpha e_1 $ один и тот же вектор $ x0$. Мы получим совокупность векторов вида $ x=x_0 + \alpha e_1,$ где $ \alpha$ пробегает все числа, $ a, e,$ и $ x_0$ - фиксированные векторы. Эту совокупность векторов естественно, по аналогии с трехмерным пространством, назвать прямой в линейном пространстве R.
Аналогично, векторы вида. $ \alpha e_1 + \beta e_2, $ где $ e_1, e_2$ - фиксированные линейно независимые векторы, а $ \alpha$ и $ \beta$ - произвольные числа, образуют двумерное подпространство. Совокупность векторов
$ x = x_0 + \alpha e_1 + \beta e_2 ,*$
где $ x_0-$ фиксированный вектор, мы назовем плоскостью (двумерной).
Упражнения 1. Показать, что в пространстве, где векторами являются системы n действительных чисел $ ( \xi_1, \xi_3, ..., \xi_n), $ совокупность векторов, удовлетворяющих соотношению
$$ \alpha_1 \xi_1 + \alpha_2 \xi_2 + ... + \alpha_n \xi_n = 0 $
$$ (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n -$ фиксированные числа, не все равные нулю), образует подпространство размерности n-1.

2. Показать, что если два подпространства $ R_1$ и $R_2$ пространства R имеют общим лишь нулевой вектор, то сумма их размерностей не превосходит размерности R.

3. Показать, что размерность подпространствп, порожденного векторами $ e, f, g, ..., $ равна максимальному числу линейно независимых векторов среди них.