§1.6 Разложение пространства R в прямую сумму подпространств. Сумма и пересечение подпространств.

Пусть заданы два подпространствп n-мерного пространства $R$. Обозначим их $R_1$ и $R_2$.

Определение 8. Если каждый вектор $x$ пространства $R$ можно, и притом единственным образом, представить как сумму двух векторов
$$ x = x_1 + x_2, $$
где $ x_1 \in R_1,$ а $ x_2 \in R_2,$ то говорят, что пространство $R$ разложено в прямую сумму подпространств $R_1$ и $R_2$.

Это обычно записывают так:
$$ R = R_1 + R_2. $$

Теорема 3. Для того чтобы пространство $ R $ разлагались в прямую сумму подпространств $ R_1 $ и $ R_2 $, достаточно, чтобы:

1. Подпространства $ R_1 $ и $R_2$ имели только один общий вектор $ x = 0$ (нулевой вектор)
2. Сумма размерностей этих подпространств была равна размерности пространства $ R $.

Доказательство. Выберем некоторый базис $ e_1, ..., e_k$ в подпространстве $R_1$ и базис $ f_1, ..., f_\iota $ в подпространстве $ R_2 $. Поскольку сумма разномерностей $ R_1$ и $ R_2 $ есть n, то общее число этих векторов $ k + \iota = n.$

Покажем, что векторы
$$ e_1, ..., e_k, f_1, ..., f_\iota $$
линейно независимы, т. е. образуют базис пространства $R$.

Действительно, пусть
$$ \lambda_1 e_1 + ... + \lambda_k e_k = - \mu_1 f_1 - ... - \mu_\iota f_\iota. $$
Левая часть этого равенства есть вектор $ R_1 $, а правая из $ R_2$. Так как, по условию, единственный общий вектор $ R_1$ и $ R_2$ есть нулевой вектор, то
$$ \lambda_1 e_1 + ... + \lambda_k e_k = 0, $$
$$ \mu_1 f_1 + ... + \mu_\iota f_\iota = 0. $$

Но каждый из наборов $ e_1, ..., e_k, $ и $ f_1, ..., f_\iota $ состоит из линейно независимых векторов, так как это базисы в $ R_1 $ и $ R_2 $. Поэтому из первого равенства (10) следует, что
$$ \lambda_1 = ... = \lambda_k = 0, $$
а из второго следует, что
$$ \mu_1 = ... = \mu_1 = 0. $$

Следовательно, система $ e_1, ..., e_k, f_1, ..., f_1 $ состоит из n линейно независимых векторов, т. е. это базис в пространстве $ R$.

Мы доказали, что при выполнении условий теоремы существует базис, первые $k$ векторов которого образуют базис в $ R_1, $ а последние $ \iota - $ базис в $ R_2 $.

Произвольный вектор $ x $из $R$ можно разложить по векторам этого базиса
$$ x = \alpha_1 e_1 + ... + \alpha_k e_k + \beta_1 f_1 + ... \beta_\iota f_\iota. $$
При этом
$$ x_1 = \alpha_1 e_1 + ... + \alpha_k e_k \in R_1 $$
и
$$ x_2 = \beta_1 f_1 + ... + \beta_\iota f_\iota \in R_2. $$
Таким образом,
$$ x = x_1 + x_2, $$
где $ x_1 \in R_1 $ и $x_2 \in R_2.$ Покажем, что это разложение единственно. Предположим, что существуют два разложения:
$$ x = x_1 + x_2, $ где $ x_1 \in R_1, x_2 \in R_2,$$
и
$$ $x = x_1' + x_2', $ где $ x_1' \in R_1, x_2' \in R_2,$ $$
Вычитая второе равенство из первого, получаем:
$$ 0 = x_1 - x_1' + x_2 - x_2', $$
откуда
$$ x_1 - x_1' = x_2' - x_2. $$

Так как вектор, стоящий в левой части равенства, принадлежит $ R_1$, а вектор, стоящий в правой части, принадлежит $ R_2$, то каждый из этих векторов равен нулю, т. е.
$$ x_1' = x_1, $$
$$ x_2' = x_2, $$
Единственность разложения доказана.

Допустим, что нам задано два произвольных подространства $ R_1$ и $ R_2$ линейного пространства $R$.

Легко проверить, что совокупность векторов, принадлежащих обоим этим подпространствам, также есть подпространство $ R_0 $ пространства $ R. $

Это подпространство называется пересечением $ R_1$ и $ R_2 $ и обозначается
$$ R_0 = R_1 \bigcap R_2 $$

Например, если $R_1$ и $R_2$ - два двумерных подпространства трехмерного пространства ( две плоскости, проходящие через начало координат), то $ R_1 \bigcap R_2$ есть одномерное подространство (прямая, по которой пересекасаются эти плоскости).

По двум подпространствам $ R_1$ и $ R_2$ можно построить ещё одно подпространство, которое называется их суммой . Оно определяется следующим образом.

Векторами этого подпространствп являются всевозможные суммы вида
$$ x = x_1 + x_2, $$
где $ x_1 \in R_1, x_2 \in R_2,$

Легко проверить, что элементы вида /(11) образуют подпространство. Это подпространство $ R$ называется суммой подространств $R_1$ и $R_2$ и обозначается
$$ R = R_1 + R_2. $$

Заметим, что, в отличие от прямой суммы двух подпространств, запись элемента из $R$ в виде (11) может быть неоднозначной.

Упражнение. Показать, что сумма двух различных двумерных подпространств трехмерного пространства $ R $есть все это пространство.

Имеет место следующая теорема:
Теорема 4. Пусть заданы два подпространства $ R_1$ и $ R_2 $ пространства $ R $. Тогда сумма размерностей $ R_1$ и $ R_2 $ равна размерности их суммы плюс размерность пересечения.

Доказательство . Выберем в пересечении $ R_0 = R_1 \bigcap R_2 $ базис
$$ e_1, ..., e_k. $$

Дополним этот базис с одной стороны до базиса $R_1$:
$$ e_1, ..., e_k, f_1, ..., f_\iota $$
и с другой стороны до базиса $R_2$:
$$ e_1, ..., e_k, g_1, ..., g_m.$$
Покажем, что векторы
$$ f_1, ..., f_\iota, e_1, ..., e_k, g_1, ..., g_m $$
образуют базис в сумме $ R = R_1 + R_2. $

Сначала покажем, что эти векторы линейно независимы.
Действительно, пусть
$$ \lambda_1, f_1 + ... + \lambda_\iota f_\iota + \mu_1 e_1 + ... + \mu_k e_k + v_1 g_1 + ... + v_m g_m = 0. $$
Тогда
$$ \lambda_1 f_1 + ... + \lambda_\iota f_\iota + \mu_1 e_1 + ... + \mu_k e_k = -v_1 g_1 - ... - v_m g_m. $$
Левая часть этого равенства есть вектор из $ R_1$ правая - из $R_2$. Таким образом, эта правая часть есть одновременно вектор из $R_1$ и из $ R_2$, т. е. принадлежит $ R_0 $ и, значит, выражается как линейная комбинация базиса $ e_1, ..., e_k $ подпространства $ R_0$:
$$ -v_1 g_1 - ... v_m g_m = c_1 e_1 + ... + c_k e_k. $$
В силу линейной независимости векторов (14) это возможно только, когда все коэффициенты - нули. В частности, $ v_1 = ... = v_m = 0, т. е. $
$$ \lambda_1 f_1 + ... + \lambda_\iota f_\iota + \mu_1 e_1 + ... + \mu_k e_k = 0 $$

Из линейной независимости векторов (13) получаем, что и все коэффициенты $ \lambda_1, ..., \lambda_\iota, \mu_1, ..., \mu_k $ равны нулю. Таким образом, линейная независимость системы (15) доказана.

Покажем теперь, что всякий вектор $ x \in R$ выражается как линейная комбинация векторов этой системы. По определению $ R $ вектор $x$ можно представить в виде:
$$ x = x_1 + x_2, $$
где $x_1 \in R_1, x_2 \in R_2.$ Так как $ x_1 \in R_1,$ то его можно представить как линейную комбинацию векторов (13). Аналогично $ x_2 \in R_2 $ и $x_2$ можно представить как линейную комбинацию векторов (14). Складывая, получим, что вектор $x$ представим как линейная комбинация системы (15).
Итак, мы получили, что векторы
$$ f_1, ..., f_\iota, e_1, ..., e_k, g_1, ..., g_m, $$
с одной стороны, линейно независимы и, с другой стороны, всякий вектор $ R$ есть их линейная комбинация.
В силу замечания выше, следует, что эти векторы образуют базис в $ R$. Итак, мы имеем $k$ векторов (12), образующих базис в $R_0, k + \iota $ векторов (13), образующих базис в $ R_1, k + m$ векторов (14), образующих базис в $ R_2, k+\iota + m $ векторов (15), образующих базис в $ R=R_1 + R_2.$ Утверждение теоремы обращается, таким образом, в тождество
$$ (k+ \iota) + (k + m) = ( k+ \iota + m) + k $$
Теорема доказана.

Упражнение. Проверить для случая, когда $R_1$ и $R_2$ - двумерные подпространства трехмерного пространства.

Из доказанной теоремы следует, например, что двум 15-мерным подпространствп "тесно" в 28-мерном пространстве - они пересекаются по крайней мере по двумерному подпространству (плоскости). Действительно, сумма размерностей равна 30, а размерности всего пространства, т. е. 28.

Упражнения.

1. Каково наименьшее число измерений пространства, в котором две плоскости могут пересечься в точке?
2. Доказать, что если $ R_1 \bigcap R_2 $ есть нулевое подпространство, то $ R = R_1 + R_2 $ есть прямая сумма $R_1$ и $ R_2$, т. е. $ R = R_1 + R_2. $

Из результата этого упражнения видно, что теорема 3 пункта есть частный случай теоремы 4.

Упражнение. Показать, что если имеет разложение $ R$ в прямую сумму
$$ R = R_1 + R_2,$$
то пересечение $ R_1$ и $ R_2 $ равно нулю и, следовательно, сумма размерностей этих подпространств равна $n$.